43、电路约束的加权计数算法及布尔算术方程的获取与应用

电路约束的加权计数算法及布尔算术方程的获取与应用

1. 电路约束的加权计数算法

在约束规划中，CIRCUIT 约束对于建模许多组合问题非常有用。然而，像 MiniCPBP 这类扩展了信念传播（BP）的 CP 求解器，需要约束配备加权计数算法，以便在变量域上传播概率质量函数，而目前 CIRCUIT 约束还不具备这一条件。

1.1 加权计数的基本概念

设 $G = (N, A)$ 是一个有向图，其哈密顿回路是指从 $A$ 中的弧构成的路径，该路径恰好访问 $N$ 中的所有节点一次，并回到起始节点。对于无权图，每个哈密顿回路的计数为 1；对于加权图，回路的权重定义为回路中每条弧的权重 $w_a$ 的乘积。所有哈密顿回路的加权计数定义为：
$H(G) = \sum_{c\in H(G)}\prod_{a\in c}w_a$

CIRCUIT 约束定义在有限域变量 $s_i \in {j \in N : (i, j) \in A}$ 上，它强制要求弧集 ${(i, s_i) : i \in N}$ 构成图 $G$ 的一个哈密顿回路。

1.2 采样算法

由于判断一个图是否存在哈密顿回路是 NP 完全问题，无法在合理时间内精确计数。因此，我们设计了一种概率采样算法，该算法改编自 Rasmussen 针对无向无权图的估计器。

算法 1：采样算法

Input: weighted digraph G(N, A), with |N| = n
Output: estimator XG