6、带容量车辆路径问题的列消除方法

带容量车辆路径问题的列消除方法

在物流和运输领域，带容量车辆路径问题（CVRP）是一个经典且具有挑战性的问题。它旨在为一组具有容量限制的车辆规划最优路径，使得所有客户需求都能得到满足，同时最小化总行驶距离。本文将介绍一种解决CVRP的方法，包括动态规划模型、决策图、网络流模型、列消除过程、拉格朗日松弛、割平面和基于约化成本的弧固定等技术。

1. ng - 路线松弛与动态规划模型

对于ng - 路线松弛，我们假设对于每个 (i \in {1, \ldots, n})，存在一个大小为 (g) 的集合 (N_i \subseteq V)。集合 (N_i) 必须包含 (i)，通常表示距离 (i) 最近的 (g) 个位置。我们使用状态定义 ((N_G, w, e))，其中 “无好” 集合 (N_G \subseteq V) 是已访问位置的子集，(w) 和 (e) 如前文所述。初始状态为 ((\varnothing, 0, 0))。

给定状态 (s = (N_G, w, e)) 和标签 (i \in V)，满足 (i \notin N_G) 且 (w + q_i \leq Q)，我们定义转移函数为：
[f_{N_G}(s, i) = ((N_G \cup {i}) \cap N_i, w + q_i, i)]
相关的转移成本函数为 (g_{N_G}(s, i) = l(e, i))。我们将得到的动态规划模型记为 (DP_{NG}^g)。需要注意的是，(DP_{SQ}^q) 和 (DP_{NG}^g) 分别禁止长度至多为 (q) 和 (g) 的循环。

2. 精确和松弛决策图

在CVRP的背景下，我们定义精确和松弛决策图的概念。给定