6、数学与深度学习：从定理证明到图像生成

数学与深度学习：从定理证明到图像生成

1. 西姆松定理的代数证明

西姆松定理指出，若点 (D) 是 (\triangle ABC) 外接圆上的一点，从 (D) 向三角形三边（或其延长线）作垂线，垂足分别为 (E)、(F)、(G)，则 (E)、(F)、(G) 三点共线，这条线被称为西姆松线。

为了证明这个定理，我们建立如下坐标系：
- (A = (0, 0))
- (B = (u_1, 0))
- (C = (u_2, u_3))
- (O = (x_1, x_2))
- (D = (u_4, x_3))
- (E = (x_4, x_5))
- (F = (x_6, x_7))
- (G = (u_4, 0))

基于此坐标系，我们可以得到以下假设和结论的表达式：
| 表达式 | 条件 |
| — | — |
| (h_1 = 2u_1x_1 - u_1^2 = 0) | (OA = OB) |
| (h_2 = 2u_3x_2 + 2u_2x_1 - u_3^2 - u_2^2 = 0) | (OA = OC) |
| (h_3 = -x_3^2 + 2x_2x_3 + 2u_4x_1 - u_4^2 = 0) | (D) 在圆 (O) 上 |
| (h_4 = u_3x_5 + (u_2 - u_1)x_4 - u_3x_3 + (-u_2 + u_1)u_4 = 0) | (DE \perp BC) |
| (h_5 = (-u_2 + u_1)x_5 + u_3x_4 - u_1u_3 = 0) | (E)、(B)、(C) 共