5、复阶导数、分数阶 RLC 电路及心血管疾病建模研究

复阶导数、分数阶 RLC 电路及心血管疾病建模研究

复阶导数

复阶导数的定义与问题

在信号处理中，为了将信号 $f(t)$ 仅用正频率的正弦信号表示，构造了 $\hat{x}(t)$，此时 $\hat{x}(t)$ 是 $x(t)$ 的希尔伯特变换。例如对于 $\cos(\omega_0t)$，可以定义两种不同的导数：
[
D_{a + ib}\cos(\pm\omega_0t) =
\begin{cases}
|\omega_0|^a e^{-b\frac{\pi}{2}}\cos(\omega_0t + a\frac{\pi}{2} + b\log|\omega_0|) & \text{正频率 }(+\omega_0) \
|\omega_0|^a e^{b\frac{\pi}{2}}\cos(\omega_0t + a\frac{\pi}{2} - b\log|\omega_0|) & \text{负频率 }(-\omega_0)
\end{cases}
]
这表明复阶导数的定义失去了唯一性。

单边带信号的构造步骤

给定信号 $x(t)$ 及其傅里叶变换 $X(\omega)$，可按以下步骤构造单边带信号：
1. 构造复信号，其傅里叶变换为 $F_{\pm}(\omega) = 2X(\omega)u(\pm\omega)$，其中 $u(.)$ 是海维赛德单位阶跃函数。信号 $f_{\pm}(t) = \mathcal{F}^{-1}F_{\pm}(\omega)$ 分别称为上（$+$）和下（$-$）单边带信号。
2. 由于 $u(