4、柔性机械臂的最优可达性与抓取研究

柔性机械臂的最优可达性与抓取研究

在机器人控制领域，柔性机械臂的控制问题一直是研究的热点。本文将围绕柔性机械臂的最优可达性和抓取问题展开探讨。

动态最优可达性

在考虑动态最优可达性问题时，给定 $q^ \in R^2$ 以及 $T, \tau > 0$，我们要寻找一个时变的最优控制 $u^ : [0, 1] \times [0, T] \to [-1, 1]$，使得以下泛函最小化：
[
J (q, u) = \frac{1}{2\tau} \int_{0}^{T} |q(1, t) - q^*|^2 dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \int_{0}^{1} u^2 ds dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \rho(s)|q_t(s, T)|^2 ds
]
该泛函需满足柔性机械臂的动力学方程。其中，代表末端与目标距离的项以及控制的二次成本项在动态意义下进行最小化，即它们在系统的整个演化过程中都要达到最小。泛函的第三项用于保证稳定性，它表示机械臂在最终时刻的动能。

我们的方法基于一阶最优性条件的研究，即求解所谓的最优性系统。未知量包括 $J$ 的驻点 $(q, \sigma, u)$（需满足动力学方程）以及相关的乘子 $(\overline{q}, \overline{\sigma})$，这些乘子被称为伴随状态。简单来说，如果控制 $u^ $ 是最优的，那么最优性系统存在形如 $(q, \sigma, u^ , \overline{q}, \overline{\sigma})$ 的解。最优性系统由两个偏微分方程、运动方程以及一个关于控制的变分