素数测试

素数测试是判断一个自然数是否为素数的一种方法。

在现在加密技术中，经常使用的“RSA加密技术”可以处理非常大的素数，就使用了素数测试。关于RSA算法可以阅读以下这个（https://www.jianshu.com/p/fbb8bf7baa97）

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举个例子：判断5183是不是素数。

一般通用方法，将5183除以大于2的数，看能不能整除。

5183的平方根是71.99305522062528所以按照2到71的顺序求取模操作，存在取模为0时就判断是合数不是素数。

5183 mod 2 = 1

5183 mod 3 = 2

：             ：  ：

5183 mod 70 = 3

5183 mod 71 = 0

一直取模操作，直到对71取模，结果为0， 所以5183不是素数，是个合数。

这种方法可以判断出一个数是否为素数，这是一种暴力的方法。但是当一个数非常大的时候，用这种办法会花掉许多的时间。

那有没有一种办法可以快速的判断一个数是否为素数呢？当然有。“费马素性检验”就是一种解决方法。

我们先了解一下素数的一些性质：

7 is 素数                

 mod 7 = 1                            

 mod 7 = 1                  

 mod 7 = 1

 mod 7 = 1      

 mod 7 = 1                        

 mod 7 = 1 

 mod 7 = 0

费马小定理：

如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。

（解释一下，等式意思就是“≡”左边的“a^（p-1）”对“p”取模等于右边的“1”对“p”取模）

按费马小定理，如果一个奇数n不能整除  ，则n必为合数（这是费马小定理的一个逆否命题）。但是，如果奇数n>1能整除  ， n就一定是素数吗？1819年，法国数学家沙路斯发现，虽然341整除  ，但341是合数，341=11×31。这一反例表明费马小定理的逆定理不成立。事实上，费马小定理给出的是关于素数判定的必要非充分条件。若n能整除2^(n-1)-1，并n是非偶数的合数，那么n就是伪素数。它满足费马小定理，但其本身却不是素数。最小的伪素数是341。有人已经证明了伪素数的个数是无穷的。

更极端的反例是卡迈克尔数： 假设a与561互质，则 被561除都余1。这样的数被称为卡迈克尔数数，561是最小的卡迈克尔数。已经证明证明了卡迈克尔数有无穷多个。

通过是否满足费马小定理来确定素数的方法被称为“费马素性检验”。

费马素性检验是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。

 让我们使用费马测试来判断数字127是否是素数。

随机取三个小于127的数字。

  mod 127 =1

  mod 127 =1

  mod 127 =1

再增加几个随机数测试，随机所取得数字都满足了费马小定理。匹配得到确认的次数越多，这个数为素数的可能性越大，如果遇到了一次不满足费马测试的情况，它就不是素数。

然而，选取所有小于“p”（判断p是否为素数）的数字进行检测是非常耗时的。

实际中，检查几个数字是否满足，如果可以判断是素数的可能性足够高的话，就可以判断这是个素数。

增加随机数的选取，多做几次检验，当判断不是素数的概率小于的情况下，就判断为素数。

例如，改进的费马素性检验，米勒-拉宾素性检验使用于确定RSA加密算法中的素数。

看到这里，我么已经可以了解到了：

• 如果检测的数是一个素数，那么它一定满足所有的费马素性检验。
• 如果检测的数是一个合数，那么它会被大部分的费马素性检验卡住；但是存在非常少的合数也会满足所有的费马素性检验（比如561，它是个合数561=1*187=11*51，但它满足所有费马素性检验，这类数就是卡迈克尔数，这类数字很少）。

素数满足所有的费马素性检验，但是即使一个数满足了所有的费马素性检验，也不能确定它一定是素数。

费马素性检验是一个概率素数确定方法。

但是，判定一个大数是否为素数目前还没有其他更有效的方法。

在实际中，一般情况下我们还是使用费马素性检验。