15、树自动机、逻辑与可约树的深入解析

树自动机、逻辑与可约树的深入解析

树变换关系概述

树自动机和逻辑领域中，存在多种树变换操作，它们之间的关系如图 3.11 所示。这些操作包括有限状态重新着色、带有理前瞻的有限状态重新着色、正则树态射、树转导、带有理前瞻的树转导、逆有理替换、正向替换、无记忆重新着色等。图中从操作集合 X 到操作集合 Y 的箭头表示 Y 可以用 X 的操作组合来表示，即 X 包含 Y。例如，图中体现了不同树变换之间复杂而有序的包含和可表示关系，这有助于我们理解各种树变换操作的能力和相互联系。

可约树的定义与性质

为了研究树的可约性，引入了树的秩的概念。树的秩可以看作是将给定树规约为正则树所需的迭代收缩次数。对于 D - 增强树 T，如果它是正则的，则秩为 0；对于 n > 0，如果存在集合 B ⊇ D 和 B - 标记的正则分解 Π，使得对于每个 B - 增强树自动机 A，T 相对于 A 和 Π 的收缩编码的秩为 n - 1，则 T 的秩为 n。如果树 T 的秩是有限的 n ∈ N，则称 T 是可约的。

为了使树的秩的概念更有意义，需要对分解形式进行限制，要求分解得到的标记因子是正则的，这样的分解称为正则分解。因为如果不限制分解形式，任何树都可以在单一步骤中规约为正则收缩，这在算法和组合意义上都没有太大价值。

树的足迹是将树规约为其收缩编码所需的最少信息。对于秩为 0 的树，其足迹是一个展开后与该树同构的有限有根图；对于秩为 n > 0 的树，其足迹是一个对 ξ = (B, f)，其中 B ⊇ D，f 是一个可计算函数，它将任何 B - 增强树自动机 A 映射到一个 B - 标记的 (TA ∪ {⊥}) - 着色树 - T 的足迹，该树的秩为