3、单词自动机与时间粒度：理论与应用

单词自动机与时间粒度：理论与应用

1. 单词自动机基础

1.1 有限单词自动机

单词自动机是一种抽象的有限状态机，它接收一个（有限或无限）单词作为输入，从左到右逐个处理符号，并根据是否存在成功的“计算”（以下称为运行）最终接受或拒绝该单词。我们先介绍处理有限单词的自动机。

1.1.1 非确定性有限状态自动机（NFA）

非确定性有限状态自动机（NFA）是一个五元组 (A = (A, S, \Delta, I, F))，其中：
- (A) 是一个有限字母表。
- (S) 是一个有限状态集。
- (\Delta \subseteq S \times A \times S) 是一个转移关系。
- (I \subseteq S) 是一组初始状态。
- (F \subseteq S) 是一组最终状态。

NFA (A) 在有限单词 (w \in A^*) 上的运行是一个有限状态序列 (\rho)，满足：
1. (|\rho| = |w| + 1)。
2. 对于每个 (1 \leq i \leq |w|)，((\rho(i), w(i), \rho(i + 1)) \in \Delta)。

如果 (\rho(1) \in I) 且 (\rho(|\rho|) \in F)，则称运行 (\rho) 是成功的。如果存在 (A) 在 (w) 上的成功运行 (\rho)，则称 (A) 接受有限单词 (w)；否则，称 (A) 拒绝 (w)。(A) 所识别的语言定义为所有被 (A) 接受的有限单词 (w \in A^*) 的集合 (L(A))。

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