14、判别式降维映射：原理、评估与应用

判别式降维映射：原理、评估与应用

1. 引言

在当今数字化时代，电子数据量正以前所未有的速度增长。面对海量的数据，人们迫切需要自动化工具来直观地筛选出有价值的信息。降维数据可视化技术应运而生，它能够将高维数据以二维或三维的形式展示在计算机屏幕上，成为了一种流行的数据探索手段。

然而，降维问题本身具有内在的不适定性，不同的降维技术、参数设置，甚至非确定性算法中的随机因素，都会导致降维结果大相径庭。而且，很多时候我们并不清楚所得到的可视化结果是否可靠、是否适用于当前的任务，因为降维工具可能会聚焦于数据中的无关方面或噪声。此外，降维技术背后的数学目标往往不够直观，对于非专业人士来说难以理解。

判别式降维为解决这些问题提供了一种思路。它通过引入辅助信息，即对数据进行明确的标注，旨在可视化那些与给定类别信息特别相关的数据特征。这样一来，降维方法所忽略的信息不再是随机的，而是与给定类别的相关性直接关联。由于辅助标签或类别通常是人类可以直接理解的，这为用户提供了一个自然的接口，能够根据具体应用的需求来调整降维的重点。

目前，已经存在多种线性监督投影方法，如Fisher线性判别分析（LDA）、偏最小二乘回归（PLS）、信息投影等。现代技术则将这些方法扩展到了非线性投影。例如，核化方法（如核LDA）、监督多维尺度分析（SMDS）等。SMDS同时优化两个项，一个是经典的MDS成本函数，另一个则依赖于标签之间的距离，通过修改局部结构来确保类别分离。还有一些方法是对随机邻域嵌入（SNE）的扩展，如参数嵌入（PE）和多重关系嵌入（MRE）等。

不过，这些方法大多存在一些局限性。很多技术是临时的，依赖于关键参数（如使用的核），而且只有少数方法能够提供明确的降维映射。