15、判别式降维映射与公交行程时长偏差分析

判别式降维映射与公交行程时长偏差分析

1. 判别式核t - SNE

t - 分布随机邻域嵌入（t - SNE）是一种高度灵活的降维技术，它能保留数据和投影空间中由成对距离所诱导的概率。

在原始空间中，数据点 $x_i$ 会诱导出成对概率 $p_{ij} = \frac{p(i|j) + p(j|i)}{2N}$，其中 $N$ 是数据点的数量，且：
[p_{j|i} := \frac{\exp(-\frac{|x_i - x_j|^2}{2\sigma_i^2})}{\sum_{k\neq i} \exp(-\frac{|x_i - x_k|^2}{2\sigma_i^2})}]
带宽参数会进行局部设置，以使有效邻居数量与数据集的合理比例相对应。投影点 $y_i$ 会诱导出成对概率：
[q_{ij} := \frac{(1 + |y_i - y_j|^2)^{-1}}{\sum_{k\neq l} (1 + |y_k - y_l|^2)^{-1}}]
t - SNE 的目标是找到投影点 $y_i$，使得通过 Kullback - Leibler 散度衡量的这些概率差异最小化，这通常使用梯度技术来实现。不过，该技术没有提供显式映射 $x \to y = y(x)$。因此，在处理新的数据点时，必须解决一个新的优化问题。此外，t - SNE 的计算成本是二次的，这使得它很难应用于大型数据集。

为了解决这些问题，有人提出将 t - SNE 扩展为显式核映射，即核 t - SNE。该映射由以下函数表征：
[x \to y(x) = \sum_{j} \alpha_j \cdot \frac{k(x, x_j)}{\sum_{l} k(x, x_l)}