47、广义霍夫变换（GHT）及其变体的深入解析

广义霍夫变换（GHT）及其变体的深入解析

1. 引言

在计算机视觉领域，形状匹配是一项重要任务。广义霍夫变换（GHT）作为一种强大的工具，可用于匹配任意形状。本文将详细介绍GHT的正式定义、极坐标定义、实现技术以及其改进版本——不变GHT。

2. 广义霍夫变换（GHT）的正式定义

• 模型形状的定义 ：可以通过曲线来定义模型形状，例如：
  [y(q) = x(q)\begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix} + y(q)\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}]
  对于圆，(x(q) = r\cos(q)) 且 (y(q) = r\sin(q))，任意形状可通过更复杂的 (x(q)) 和 (y(q)) 定义。
• 图像形状的定义 ：考虑平移、旋转和尺度变化，图像中的形状可定义为：
  [u(q; b, l, r) = b + lR(r)y(q)]
  其中 (b = (x_0, y_0)) 是平移向量，(l) 是尺度因子，(R(r)) 是旋转矩阵。该形状依赖于四个参数：两个定位参数 (b)、旋转和尺度，而 (q) 仅用于追踪曲线。

• 形状位置的确定 ：形状的位置可由下式给出：
  [b = u(q) - lR(r)y(q)]
  若已知形状 (u(q)) 和参数 (b)、(l)、(r)，此式可确定形状位置。但通常只知道图像中的一个点 (u_i = (u_{xi}, u_{yi}))，则有：
  [b = u_i - lR