46、霍夫变换的参数空间分解与广义霍夫变换

霍夫变换的参数空间分解与广义霍夫变换

1. 参数空间分解的基本流程

参数空间分解是一个两步过程：
- 第一步，在一个累加器中收集数据并寻找最大值。
- 第二步，将最大值的位置作为参数值，用于收集其余累加器的数据。

具体来说，先计算累加器 $q$，然后针对每个峰值（线），生成一个关于 $r$ 的累加器。即有一个用于角度的单一累加器，以及与图像中检测到的线数量相同的用于 $r$ 的累加器。大多数第一个累加器中的峰值接近 60 度，具有相似的斜率，这些峰值定义了图像中的线。

需要注意的是，一般情况下，参数空间分解产生的累加器比在全维累加器中收集证据时具有更多的噪声。因此，需要采用策略来选择合适的候选点。在本次实现中，考虑了选定距离内的点对，但其他选择标准，如具有相似梯度方向或相似颜色的点，也有助于减少累加器中的噪声。

2. 圆的参数空间缩减

对于圆的参数空间分解，可以考虑不同的几何性质。其中一个重要的几何关系是由二阶方向导数的几何性质给出的。

2.1 圆的向量和导数定义

圆的位置向量函数可以表示为：
[
y(\theta) = x(\theta)
\begin{bmatrix}
1 \
0
\end{bmatrix}
+ y(\theta)
\begin{bmatrix}
0 \
1
\end{bmatrix}
]
其中：
[
x(\theta) = x_0 + r \cos(\theta)
]
[
y