50、从正则树表达式到位置树自动机

从正则树表达式到位置树自动机

1. 位置树自动机的基本概念

为了构建与正则树表达式 $E$ 相关联的非确定性有限自动机，我们引入了几个关键的位置集合：$First(E)$、$Last(E, f)$ 和 $Follow(E, f)$。

首先，定义一个布尔函数 $\lambda_c(E)$，其中 $c \in \Sigma_0$：
- 当 $c \in \langle E \rangle$ 时，$\lambda_c(E) = 1$；
- 否则，$\lambda_c(E) = 0$。

该函数的计算方式如下：
| 表达式形式 | $\lambda_c$ 计算规则 |
| — | — |
| $\lambda_c(a)$ | 若 $a = c$，则值为 1；否则为 0 |
| $\lambda_c(F + G)$ | $\lambda_c(F) \vee \lambda_c(G)$ |
| $\lambda_c(F \cdot_xG)$ | 若 $x = c$，则为 $\lambda_c(F) \wedge \lambda_c(G)$；否则为 $\lambda_c(F) \vee (\lambda_x(F) \wedge \lambda_c(G))$ |
| $\lambda_c(F^{*}_x)$ | 若 $x = c$，则为 1；否则为 $\lambda_c(F)$ |
| $\lambda_c(g(E_1, \cdots, E_m))$ | 0 |

接着，定义 $Last(E, f)$ 为 $\langle E \rangle$ 中以 $f$ 为根的子树的子节点集合，其计算方式如下：