27、矩阵补全方法详解

矩阵补全方法详解

1. 引言

矩阵补全是一个新兴的研究领域，它沿着压缩感知（CS）相关领域的探索轨迹发展而来。该领域主要处理不完全填充的数据矩阵的恢复问题，其中已知样本可能受到噪声或扰动的影响。与压缩感知类似，矩阵补全算法需要从数据矩阵中少量受噪声污染的元素来重建整个矩阵。当数据矩阵具有低秩特性时，在一定条件下可以恢复缺失的元素。这些条件主要规定了可用元素的数量要低于某个限制，并且矩阵的某些行和列完全未知。当前，大量研究致力于提高在矩阵秩未知的情况下，对低秩矩阵未知元素的重建精度。

2. 矩阵补全问题

在矩阵补全问题中，使用一组标准的符号和术语来引入基本定义和概念。数据矩阵表示为 (M \in \mathbb{R}^{m \times n})，其中只有 (mn) 个元素中的 (q) 个元素是已知的。后续，(M) 被视为欠采样矩阵，欠采样率为 (\frac{q}{mn})。我们希望从已知样本中恢复缺失样本，以得到重建矩阵 (X \in \mathbb{R}^{m \times n})。设 (\Omega) 表示观测元素的集合或采样集，即如果 (M) 的 ((i, j)) 元素已知，则 ((i, j) \in \Omega)。因此，矩阵补全问题可以看作是一个约束最小化问题：
[
\begin{align }
\min_{X} \text{rank}(X)\
\text{s.t. } X(i, j) = M(i, j), \forall (i, j) \in \Omega
\end{align }
]
秩最小化问题是 NP 难问题，计算时间为 (\mathcal{O}(n^n))。上述问题与