29、矩阵补全方法在MRI中的应用与技术解析

矩阵补全方法在MRI中的应用与技术解析

1. LORAKS算法

LORAKS算法是一种用于磁共振成像（MRI）的矩阵补全方法。在该算法中，矩阵C的第k行包含k空间点((n_x^{(k)}, n_y^{(k)}))的(\Lambda_R)邻域元素。矩阵C的秩取决于R以及(\Omega_{\rho})相对于视野（FOV）的大小。例如，当(\Delta k)较小时，C的NR个奇异值衰减更快，这表明由支撑较小的图像构建的C矩阵秩更低。同样，较大的R通常对应于C的零空间维度更大，或者等价地，接近零的奇异值比例更大。

LORAKS算法的主要步骤如下：
1. 初始化 ：设置R和K的值，并选择(\hat{k} 0)作为零填充的k空间，(i = 0)。
2. 迭代过程 ：
- (i = i + 1)
- (Q^{(i - 1)} = \Pi_C \hat{k}^{(i - 1)})：为给定的R和K选择构造C矩阵。
- ([U, \Sigma, V] = SVD(Q^{(i - 1)}))：对C矩阵进行奇异值分解（SVD）。
- (Q^{(i)} = U \Sigma_k V^H)：对奇异值进行硬阈值处理。
- (\hat{k}_C^{(i)} = \Pi_C^ Q^{(i)})：使用伴随算子(\Pi_C^ )将数据矩阵转换回k空间数据。
- (\hat{k}^{(i)} = \mathcal{P} {\Omega} \hat{k}_C^{(i)})：进行数据一致性投影。
- (err = \vert\hat{k