22、量子搜索与判定算法：Grover与Deutsch - Jozsa算法解析

量子搜索与判定算法：Grover与Deutsch - Jozsa算法解析

1. Grover搜索算法

在处理$N$为2的幂次方的情况时，迭代次数的近似计算相较于一般情况更为简单。当$n$为偶数时，迭代次数近似为$\frac{\pi}{4}\sqrt{2^n}=\frac{\pi^2}{2^{\frac{n}{2}-2}} = \frac{\pi^2}{2^{\frac{n - 4}{2}}}$；当$n$为奇数时，迭代次数近似为$\frac{\pi}{\sqrt{2}}2^{\frac{n - 1}{2}-2}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}2^{\frac{n - 5}{2}}$。

Grover搜索算法基于振幅放大原理。传统上，在最坏情况下，我们需要遍历一个大小为$N$的无结构集合中的每一项，才能确定我们要查找的元素是否存在。若添加随机访问和预排序，可通过二分搜索在$O(\log(N))$时间内找到目标元素。而使用Grover搜索算法处理无结构数据，能显著减少所需时间。

例如，假设你心中想一个1到100之间的数字，并给我一个能识别该数字的预言机$f$。使用Grover搜索算法，大约经过$\sqrt{100} = 10$次$U_fU_{\varphi}$迭代就能找到这个数字，而经典方法可能需要调用预言机99次。从复杂度来看，从$O(N)$提升到了$O(\sqrt{N})$，对于较大的$N$，这种提升非常显著。

使用Grover搜索算法的具体步骤如下：
1. 确定要搜索的数据，设数据项数量为$N$。
2. 找到最小的正整数$n$，使得$N\leq2^n$，该算法需要$n$个量子比特。
3. 找到一种方法，将待搜索的数据项唯一