26考研|数学分析：函数的连续性

连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数。本章作为函数极限的延申，使得函数体系更加完善，同时也对可导性进行了一定铺垫。而在本章中，比连续性更加强的一致连续性更加值得深入研究，它的相关证明值得反复思考。

课本简单概括

4.1连续性概念

本小节主要介绍连续性的基本概念，连续性可以从增量的角度理解，也可以从极限的角度理解，简而言之：在某点处，极限值等于函数值，则函数在这一点连续。同时，本小节还应掌握间断点，即不连续的点的分类——可去间断点、跳跃间断点以及第二类间断点（无穷间断点、震荡间断点），一定要学会判断间断点的方法。

4.2连续函数的性质

本小节内容较多，需要经常回顾基本概念，多做基本题型，熟练掌握相关证明方法。

首先，本小节应该掌握连续函数的局部性质——局部有界性、局部保号性以及四则运算以及函数复合法则，其中，后两条性质对于函数极限的求解也有非常重要的应用。

其次，要重点掌握闭区间上连续函数的性质——有界性定理、最大最小值定理、介值性定理以及根的存在性定理。要明确这是连续函数在闭区间上的性质，在证明前可以对开区间进行合理延拓使其满足相关性质进而进行证明。

最后，要重点理解一致连续性，尤其是加深对于一致连续性的判断以及证明，这部分要多分析，多看题目的证明过程，形成完整的解题思路。

4.3初等函数的连续性

本小节较为简单，要掌握基本初等函数都是其定义域上的连续函数，由于初等函数是由基本初等函数进行四则运算以及复合运算得出，那么任何的初等函数都是其区间上的连续函数。掌握这一中心原则即可。

小结

本章知识较为重要，起到关键的过渡作用，一定要加强理解，尤其是对一致连续性的证明性语言的理解，多做多看，才能在后面的学习中更加游刃有余。

课本经典习题