5、连通红蓝支配集的精确算法解析

连通红蓝支配集的精确算法解析

一、基础概念与初步算法

在处理图相关问题时，我们会遇到连通红蓝支配集（crbds）问题。当把图 $G$ 看作加权斯坦纳树（wst）问题的一个实例时，设 $R$ 为终端节点集，$T$ 为 $G$ 的最小斯坦纳树。可以证明，$T$ 的顶点集 $V(T)$ 是最小连通红蓝支配集。具体理由如下：
- 因为 $R$ 是独立集且为终端节点集，所以在 $T$ 中每个红色顶点都与一个蓝色顶点相邻，那么 $V(T) \cap B$ 就是 $G$ 的一个红蓝支配集。
- 每个红色顶点在 $T$ 中都是叶子节点。若存在红色顶点 $u$ 有至少两个蓝色邻居 $v$ 和 $w$，通过移除一条边（如 $uv$），并利用蓝色顶点路径连接 $v$ 和 $w$（因为 $B$ 是连通的），能得到一个权重更小的斯坦纳树。

目前已知最快的 wst 算法运行时间为 $O^*(2^k)$，其中 $k$ 是终端节点的数量。该算法采用了莫比乌斯反演方法，它是容斥原理的扩展，能在多项式空间内解决问题并保证该运行时间。

我们取 $0 < \alpha < 1$ 使 $max(2^{\alpha}, 2^{1 - \alpha})$ 最小，此时 $\alpha = 0.5$。据此可分两种情况：
- 当 $|B| < \alpha n$ 时，crbds 问题可通过穷举 $B$ 的所有子集在 $O^ (2^{\alpha n})$ 时间内解决。
- 当 $|B| \geq \alpha n$ 时，crbds 问题可通过 wst 算法在 $O^ (2^{(1 - \alpha)n})$ 时间内解决。

在这两种情