11、正则图的小弱连通支配集研究

正则图的小弱连通支配集研究

在图论领域，寻找图的小弱连通支配集具有重要意义，特别是在移动自组织网络的聚类等应用场景中。本文将深入探讨正则图的小弱连通支配集相关问题，包括不同类型支配集的定义、算法设计以及性能分析。

1. 相关概念定义

在图论中，有几种重要的支配集概念：
- 支配集 ：对于图 $G$，其支配集 $D$ 是顶点集 $V(G)$ 的一个子集，使得图 $G$ 中的每个顶点要么属于 $D$，要么与 $D$ 中的某个顶点相邻。图 $G$ 所有支配集中的最小基数定义为图 $G$ 的支配数，记为 $\gamma(G)$。确定给定图 $G$ 的 $\gamma(G)$ 是图论中的核心 NP 难问题之一。
- 连通支配集 ：图 $G$ 的连通支配集 $C$ 是一个支配集，且由 $C$ 中的顶点在 $G$ 中诱导的子图是连通的。图 $G$ 所有连通支配集中的最小基数定义为图 $G$ 的连通支配数，记为 $\gamma_c(G)$。确定 $\gamma_c(G)$ 也是 NP 难问题，即使对于正则图和有界度图也是如此。
- 弱连通支配集 ：图 $G$ 的弱连通支配集 $W$ 是一个支配集，使得由 $V(G)$ 和所有与 $W$ 中顶点相邻的边组成的子图是连通的。图 $G$ 所有弱连通支配集中的最小基数定义为图 $G$ 的弱连通支配数，记为 $\gamma_w(G)$。
- 弱连通独立支配集 ：图 $G$ 的弱连通独立支配集 $I$ 是一个弱连通支配集，且 $I$ 中任意两个顶点之间没有边相连。图 $G$ 所有弱连通独立支配集中