56、量子搜索算法：原理与应用解析

量子搜索算法：原理与应用解析

1. 级联干扰与Grover算法

1.1 级联干扰原理

级联干扰是指通用序列，即哈达玛（Hadamard）/傅里叶变换，接着是f控制的U操作，再进行另一次哈达玛/傅里叶变换，这个过程可以重复多次。以Grover数据库搜索算法为例，假设有一个函数 $f_k$，它将 ${0, 1}^n$ 映射到 ${0, 1}$，使得对于某个 $k$ 有 $f_k(x) = \delta_{xk}$。我们的任务是找到这个 $k$，也就是在从 0 到 $2^n - 1$ 的一组数字中，有一个元素被“标记”，需要通过计算 $f_k$ 来找出这个元素。

1.2 Grover算法优势

经典算法，无论是确定性还是随机算法，要以 50% 的概率找到 $k$，至少需要计算 $f_k$ $2^n - 1$ 次。而Grover算法仅需 $O(2^{n/2})$ 次计算。Grover算法可以用网络表示，通过将基本序列重复 $2^{n/2}$ 次，输出得到 $k$ 的概率大于 0.5。

1.3 Grover算法流程

• 状态准备 ：第一步是准备一个叠加态 $\psi = H^n|0^n\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{x = 0}^{2^n - 1}|x\rangle$。例如，使用三个量子比特时，$H^3|000\rangle = \frac{1}{\sqrt{8}}(|000\rangle + |001\rangle + \cdots + |111\rangle)$。
• 迭代过程