18、空中传感应用：复用配送无人机

空中传感应用：复用配送无人机

在当今的科技发展中，无人机的应用越来越广泛，其中复用配送无人机进行空中传感是一个具有创新性的应用方向。本文将详细介绍这一应用中的相关问题、挑战以及对应的解决方案。

1. 能量成本相关概念

在复用配送无人机进行传感的场景中，涉及到不同情况下的能量成本。
- 无传感时的能量成本 ：$\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}x_{ij}P_f(w_{ij})d_{i}^0/v$ 表示无传感时的一般能量成本，即每个配送组（DG）$i$ 的无人机携带包裹直接从 $l_{i}^0$ 飞到 $l_{i}^1$ 时所有无人机的能量消耗，其中 $d_{i}^0$ 是直接飞行的距离。
- 有传感时的能量成本 ：$\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}x_{ij}(P_h(w_{ij})\sum_{k\in K_j}t_{ij}^k + P_f(w_{ij})d_{ij}/v)$ 表示有传感时的总能量成本，也就是复用配送无人机进行传感后所有无人机的能量消耗。
- 额外能量成本 ：式 (6.8) 的左边表示总额外能量成本，即有传感和无传感时总能量成本的差值，这是由传感任务导致的。所有无人机的一般电池容量限制了有传感时的总能量成本。同时，我们设置 $\delta$ 来限制传感的总额外能量成本，以保证单纯包裹配送的能量成本有一个下限，这对于无人机配送至关重要。$\delta$ 的值由众包传感公司和配送无人机公司决定，例如取决于众包传感公司为招募配送无人机进行众包传感提供的资金预算，以及配送无人机公司在某些实际场景下对能量成本的精确要求。最后，式 (6.12) 表示配送重量分配的范围，即 $0 < w_1 < w_2 < \cdots < w_m \leq w$。

2. 面临的挑战

• 问题类型 ：基于定理 6.1 的结果，RT（Route - Time）和 RTW（Route - Time - Weight）问题都是混合整数非线性规划（MINLP）问题，并且是 NP 难的。例如，在 RT 问题中，两种不同类型的决策变量相互耦合，即 0 - 1 整数路由选择变量 ${x_{ij}}$ 和连续传感时间变量 ${t_{ij}^k}$。
• 非凸性 ：如图 6.4 所示，上述变量与配送重量变量紧密相关，这使得 RT 和 RTW 问题的目标函数 (6.4)、(6.11) 以及约束条件 (6.8) 都是非凸的。

3. 定理证明

定理 6.1 ：RT 和 RTW 问题都是 NP 难的。
证明 ：考虑 RT 和 RTW 问题的一个实例，当能量容量 $E_i$（$\forall i \in I$）和能量预算 $\delta$ 足够大以满足所有无人机时，约束条件 (6.5) 和 (6.8) 可以放宽。同时，配送组可用无人机的总数（即 $\sum_{i\in I}a_i$）大于路由的数量，因此约束条件 (6.7) 可以重写为 $\forall j \in J$，$\sum_{i\in I}x_{ij} = 1$。这样，这个问题可以从经典的 NP 难的广义分配问题简化而来，即在给定 $I$ 个背包（即配送组），每个背包容量为 $a_i$（$\forall i \in I$）的情况下，将每个物品 $j$（即路由 $j \in J$）分配到恰好一个背包 $i$（$i \in I$），以实现背包容量下的总利润最大化，利润为 $(\lambda\sum_{k\in K_j}G_kt_{ij}^k + (1 - \lambda)\tau w_{ij})$。因此，定理 6.1 得证。

4. 解决方案设计概述

为了解决 RT 和 RTW 问题，我们提出了两个具有性能保证的近似最优算法，并对这些算法进行分析。
- Route - Time 联合分配算法（RT - alg） ：用于解决 RT 问题。首先在“等效目标函数构造”部分构造一个新的目标函数，将具有两个高度耦合变量（即 $x$ 和 $t$）的 RT 问题等效转换为仅含 $x$ 的简单问题。然后在“Route - Time 联合分配的近似算法”部分，提出一个近似路由选择算法，利用 $p$ - 交换局部搜索策略迭代地获得常数因子近似最优解。
- Route - Time - Weight 联合优化算法（RTW - alg） ：基于 RT - alg 算法，用于解决 RTW 问题。在每次迭代中，给定配送重量分配，利用 RT - alg 算法优化路由选择和传感时间分配，并将结果反馈以更新配送重量分配，以获得更高的效用。
- 算法的理论分析 ：对 RT - alg 和 RTW - alg 算法的性能进行理论分析，包括对构造的新目标函数和约束条件的分析，证明 RT - alg 算法和 RTW - alg 算法分别具有 $1/4 + \epsilon$ 的近似比和收敛保证。

5. Route - Time 联合分配算法

5.1 等效目标函数构造

设 $U(x, t)$ 表示 RT 问题的目标函数。我们提出贪婪传感时间分配方案，构建仅含变量 $x$ 的新目标函数 $H(x)$，该函数可以等效替换 $U(x, t)$，从而解耦 $x$ 和 $t$ 之间的复杂相互依赖关系。

给定路由选择 $x$，按照以下步骤贪婪地为每个任务 $s_{ij}^k$ 分配传感时间：
1. 根据任务的效用权重 ${u_k}$ 对所有任务进行分类（算法 6.1 的第 2 - 3 行）。
2. 按照任务的顺序贪婪地分配传感时间，直到每个任务、每个路由和所有路由的传感时间分别不满足效用边界 $U_k$、约束条件 (6.5) 和 (6.8) 为止。分配给 $s_{ij}^k$ 的传感时间表示为：
$ \hat{t} {ij}^k(x) = \min\left{\frac{U_k}{u_k}, \frac{E_iv - p {ij}d_{ij}}{p_{h_{ij}}v} - \sum_{k’\in K_j\setminus{k}}\hat{t} {ij}^{k’}(x), \frac{E_s}{p {h_{ij}}} - \frac{1}{p_{h_{ij}}}\sum_{i\in I}\sum_{j\in J}\sum_{k’\in K_j\setminus{k}}x_{ij}p_{h_{ij}}\hat{t} {ij}^{k’}(x)\right}$
其中，$\min(\cdot)$ 函数的第一项表示由于效用边界 $U_k$ 对传感时间分配的约束；第二项表示无人机能量受限容量的约束，即约束条件 (6.5)；第三项表示总额外能量成本预算的约束（即约束条件 6.8），$E_s \triangleq \delta - \sum {i\in I}\sum_{j\in J}x_{ij}\Delta_{ij}$ 表示所有无人机的传感能量成本限制，$p_{ij}$ 和 $p_{h_{ij}}$ 分别表示 $P_f(w_{ij})$ 和 $P_h(w_{ij})$。

将 $\hat{t}(x) \triangleq {\hat{t} {ij}^k(x)}$ 代入原始目标函数 $U(x, t)$，新目标函数 $H(x)$ 可以表示为：
$H(x) = U(x, \hat{t}(x)) = \sum {i\in I}\sum_{j\in J}x_{ij}\left(\lambda\sum_{k\in K_j}u_k\hat{t} {ij}^k(x) + (1 - \lambda)\tau w {ij}\right)$

基于新目标函数 $H(x)$，我们得到引理 6.1，即具有新目标函数 $H(x)$ 的优化问题等同于 RT 问题，即 $\max_{x}H(x) = \max_{x,t}U(x, t)$。

算法 6.1：等效目标函数构造的传感时间分配算法

输入: 
1) 可行路由集合: J;
2) 传感任务集合: $\{u_k, U_k\}$;
3) 配送组的配送约束: $\{l_{i}^0, l_{i}^1, a_i, E_i\}$;
4) 预算: $\delta$;
5) 配送重量: $w = \{w_{ij}\}$;
6) 路由选择: $x = \{x_{ij}\}$;
输出: 
1) 任务的传感时间: $\hat{t} = \{\hat{t}_{ij}^k\}$;
2) 总效用: U;
1: 初始化 $\hat{t}_{ij}^k \leftarrow 0, \forall i \in I, \forall j \in J, \forall k \in K$;
2: 根据任务的效用权重 $\{u_k\}$ 对所有任务 $s_{ij}^k$ 进行降序排序。
3: 令 $n(s_{ij}^k)$ 表示 $s_{ij}^k$ 的顺序，$n \in \{1, \cdots, N_s\}$;
4: for $n = 1:N_s$ do
5:     $(i, j, k) \leftarrow \Gamma^{-1}(n)$;
6:     if (($x_{ij} \neq 0$) && (约束条件 (6.5) 和 (6.8) 成立)) then
7:         根据式 (6.13) 计算 $\hat{t}_{ij}^k$
8:         设置 $\hat{t} \leftarrow \hat{t}_{ij}^k$;
9:         根据式 (6.14) 基于 $\hat{t}$、$x$ 和 $w$ 计算 U;
10: return $\hat{t}$ 和 U

5.2 Route - Time 联合分配的近似算法

通过新目标函数 $H(x)$ 进行等效问题转换后，新问题变成了仅含 0 - 1 变量 $x$ 的组合优化问题。并且已经证明，这个问题是在两个划分拟阵约束下最大化一个非单调、次模函数的问题。因此，我们受局部搜索方案的启发，提出基于 $p$ - 交换局部搜索的 Route - Time 联合分配算法 RT - alg。

RT - alg 算法由两层迭代组成，包括外层循环（第 2 - 12 行）和内层循环（第 4 - 10 行），其核心思想如下：
- 内层循环 ：利用 $p$ - 交换局部搜索的两个操作，即删除一条路由和交换 $p$ 条路由。基于这两个操作的算法在每次迭代中可以得到满足划分拟阵约束条件 (6.6) 和 (6.7) 的可行解，因为拟阵约束具有基交换性质。并且它在旧解的邻域中迭代地寻找更高效用的新解，直到无法提高效用，从而得到局部最优解。
- 外层循环 ：由于目标函数是非单调的，内层循环通常得到局部最优解。因此，我们寻找多个不同的局部最优解并选择最好的一个，以在外层循环中得到全局最优解，从而保证近似比为 $1/4 + \epsilon$。

算法 6.2：RT - alg 算法

输入: 
1) 可行路由集合: J;
2) 传感任务集合: $\{u_k, U_k\}$;
3) 配送组的配送约束: $\{l_{i}^0, l_{i}^1, a_i, E_i\}$;
4) 预算: $\delta$;
5) 配送重量: $w = \{w_{ij}\}$;
输出: 
1) 任务的传感时间: $\hat{t} = \{\hat{t}_{ij}^k\}$;
2) 路由选择: $\hat{x} = \{\hat{x}_{ij}\}$;
3) 总效用: U;
1: $\mathcal{R}_1 \leftarrow \mathcal{R}$;
2: for $n = 1:N_s$ do
3:     初始化 $A_n \leftarrow \{r_0\}$, 其中 $r_0 = \arg\max_{r\in\mathcal{R}_n}H(\{r\})$ 且 $r_0$ 满足约束条件 (6.6) 和 (6.7);
4:     while 1 do
5:         if 存在一条路由 $r \in A_n$，使得 $H(A_n\setminus\{r\}) > (1 + \frac{\epsilon}{I^4J^4})H(A_n)$ then
6:             删除路由 $r$，即 $A_n \leftarrow A_n\setminus\{r\}$;
7:         else if 存在 $\lfloor p \rfloor$ 条路由 $r_{e_j} \in \mathcal{R}_n\setminus A_n \cup \{\varnothing\}$（$j \in \{1, \cdots, \lfloor p \rfloor\}$）和 $\lfloor p \rfloor$ 条路由 $r_{d_i} \in A_n \cup \{\varnothing\}$（$i \in \{1, \cdots, \lfloor p \rfloor\}$），使得 $A_n' = A_n\setminus\{r_{e_j}\}_{\lfloor p \rfloor} \cup \{r_{d_i}\}_{\lfloor p \rfloor}$ 满足约束条件 (6.6) 和 (6.7)，且 $H(A_n') > (1 + \frac{\epsilon}{I^4J^4})H(A_n)$ then
8:             交换路由 $r_{e_j}$ 和 $r_{d_i}$，即 $A_n \leftarrow A_n'$;
9:         else
10:            break;
11:     $\mathcal{R}_{n + 1} = \mathcal{R}_n\setminus A_n$
12: $A \leftarrow \arg\max_{A_n}H(A_n)|\forall n \in \{1, \cdots, N_c\}$
13: 设置 $\hat{x} \leftarrow \{\hat{x}_{ij} = 1|\forall i, j, (i, j) \in A\}$;
14: 设置 $\hat{t} = H(\hat{x})$;
15: 根据式 (6.4) 基于 $\hat{t}$、$\hat{x}$ 和 $w$ 计算 U;
16: return $\hat{t}$、$\hat{x}$ 和 U.

以下是 RT - alg 算法的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化 $\mathcal{R}_1 \leftarrow \mathcal{R}$];
    B --> C[外层循环 $n = 1:N_s$];
    C --> D[初始化 $A_n \leftarrow \{r_0\}$];
    D --> E[内层循环];
    E --> F{是否存在 $r \in A_n$ 使 $H(A_n\setminus\{r\}) > (1 + \frac{\epsilon}{I^4J^4})H(A_n)$};
    F -- 是 --> G[删除路由 $r$];
    G --> E;
    F -- 否 --> H{是否存在 $\lfloor p \rfloor$ 条路由交换使 $H(A_n') > (1 + \frac{\epsilon}{I^4J^4})H(A_n)$};
    H -- 是 --> I[交换路由];
    I --> E;
    H -- 否 --> J[退出内层循环];
    J --> K[$\mathcal{R}_{n + 1} = \mathcal{R}_n\setminus A_n$];
    K --> C;
    C --> L[选择最优 $A$];
    L --> M[设置 $\hat{x}$];
    M --> N[设置 $\hat{t} = H(\hat{x})$];
    N --> O[计算 U];
    O --> P[返回 $\hat{t}$、$\hat{x}$ 和 U];
    P --> Q[结束];

通过以上的算法和分析，我们可以看到 RT - alg 算法通过巧妙的目标函数构造和局部搜索策略，有效地解决了 RT 问题。在下半部分，我们将继续介绍 Route - Time - Weight 联合优化算法以及算法的理论分析。

空中传感应用：复用配送无人机

6. Route - Time - Weight 联合优化算法

基于前面提到的 RT - alg 算法，我们提出了 RTW - alg 算法，这是一个迭代的联合路由 - 时间 - 重量优化算法，用于解决 RTW 问题。该算法的核心思路是在给定配送重量的情况下，交替优化路由选择和传感时间，并将结果反馈回来更新配送重量的分配，以实现更高的效用。

具体步骤如下：
1. 初始化 ：设定最大迭代次数 $N$（由于算法收敛性，$N$ 是一个有限常数），并初始化第 0 次迭代的路由选择 $x(0)$、传感时间 $t(0)$ 和配送重量 $w(0)$，令迭代次数 $n = 1$。
2. 迭代优化 ：在每次迭代 $n + 1$ 中，执行以下两个步骤：
- 优化路由选择和传感时间分配 ：根据第 $n$ 次迭代的配送重量分配 $w(n)$，使用 RT - alg 算法（算法 6.2），以 $x(n)$ 作为初始解，优化路由选择 $x(n + 1)$ 和传感时间分配 $t(n + 1)$。
- 优化配送重量分配 ：基于新的路由选择 $x(n + 1)$ 和传感时间分配 $t(n + 1)$，根据式 (6.4)、(6.5)、(6.8) 和 (6.12)，RTW 问题转化为一个具有整数变量 ${w_{ij}}$ 的有界背包问题，这是一个 NP 难问题。因此，我们使用贪心算法来获得一个常数因子近似最优解。
3. 计算效用并更新迭代次数 ：根据式 (6.4)，基于 $x(n + 1)$、$t(n + 1)$ 和 $w(n + 1)$ 计算总效用 $U(n + 1)$，然后将迭代次数 $n$ 加 1。
4. 终止条件 ：当 $U(n) \leq (1 + \epsilon)U(n + 1)$ 或者 $n > N$ 时，停止迭代，返回最终的传感时间 $t(n)$、路由选择 $x(n)$、配送重量 $w(n)$ 和总效用 $U(n)$。

算法 6.3：RTW - alg 算法

输入: 
1) 可行路由集合: J;
2) 传感任务集合: $\{u_k, U_k\}$;
3) 配送组的配送约束: $\{l_{i}^0, l_{i}^1, a_i, E_i\}$;
4) 预算: $\delta$;
输出: 
1) 任务的传感时间: $\hat{t} = \{\hat{t}_{ij}^k\}$;
2) 路由选择: $\hat{x} = \{\hat{x}_{ij}\}$;
3) 配送重量: $\hat{w} = \{\hat{w}_{ij}\}$;
4) 总效用: U;
1: 初始化 $x(0)$、$t(0)$ 和 $w(0)$; $n \leftarrow 1$;
2: while ($U(n) > (1 + \epsilon)U(n + 1)$) && ($n \leq N$) do
3:     给定 $w(n)$，使用算法 6.2 以初始解 $x(n)$ 优化 $x(n + 1)$ 和 $t(n + 1)$;
4:     给定 $x(n + 1)$ 和 $t(n + 1)$，使用贪心算法优化 $w(n + 1)$;
5:     根据式 (6.4) 基于 $x(n + 1)$、$t(n + 1)$ 和 $w(n + 1)$ 计算 $U(n + 1)$;
6:     $n \leftarrow n + 1$;
7: return $t(n)$、$x(n)$、$w(n)$ 和 $U(n)$;

以下是 RTW - alg 算法的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化 $x(0)$、$t(0)$、$w(0)$，$n = 1$];
    B --> C{($U(n) > (1 + \epsilon)U(n + 1)$) && ($n \leq N$)};
    C -- 是 --> D[给定 $w(n)$，用算法 6.2 优化 $x(n + 1)$ 和 $t(n + 1)$];
    D --> E[给定 $x(n + 1)$ 和 $t(n + 1)$，用贪心算法优化 $w(n + 1)$];
    E --> F[根据式 (6.4) 计算 $U(n + 1)$];
    F --> G[$n = n + 1$];
    G --> C;
    C -- 否 --> H[返回 $t(n)$、$x(n)$、$w(n)$ 和 $U(n)$];
    H --> I[结束];

7. 算法的理论分析

7.1 目标函数和约束条件分析

首先，我们将 RT 问题用 $H(x)$ 重新表述为一个集合函数优化问题，如下所示：
$\max_{A \subseteq \mathcal{R}} H(A)$
$\text{s.t.} \quad \sum_{j:(i,j) \in A} 1_{(i,j) \in A} \leq a_i, \forall i \in I$
$\sum_{i:(i,j) \in A} 1_{(i,j) \in A} \leq 1, \forall j \in J$
其中，$1_{(i,j) \in A}$ 是指示函数，用于表示元素 $(i, j)$ 是否在集合 $A$ 中。

接下来，我们分析目标函数和约束条件的性质：
- 目标函数性质 ：
- 非负性 ：当 $A = \varnothing$ 时，$\hat{t} {ij}^k = 0$，所以 $H(A) = 0$；对于任意 $A \subseteq \mathcal{R}$，由于式 (6.14) 中的效用是非负的，所以 $H(A) \geq 0$，因此 $H(A)$ 是非负的。
- 次模性 ：根据次模性的定义，对于任意 $A \subseteq B \subseteq \mathcal{R}$ 和任意 $r \in \mathcal{R} \setminus B$，需要证明 $H(A \cup {r}) - H(A) \geq H(B \cup {r}) - H(B)$。通过分析不同路由选择下的传感时间分配和效用变化，我们可以将 $H(A \cup {r}) - H(A)$ 和 $H(B \cup {r}) - H(B)$ 分别表示为增加的传感效用、减少的传感效用和配送效用的组合。由于采用了贪心传感时间分配策略，且 $A \subseteq B$，可以得出 $H(A)$ 是次模的。
- 非单调性 ：通过构造反例可以很容易证明 $H(\cdot)$ 是非单调的。
- 约束条件性质 ：约束条件 (6.20) 和 (6.21) 是划分拟阵约束。根据划分拟阵的定义，我们可以证明由约束条件 (6.20) 构造的对 $(\mathcal{R}, M)$ 满足划分拟阵的四个条件：
- $\varnothing \in M$，这很容易从式 (6.20) 得出。
- 假设存在 $A \subseteq B \in M$ 但 $A \notin M$，根据式 (6.20) 会推出 $B \notin M$，这与 $B \in M$ 矛盾，所以该条件成立。
- 当 $A$ 和 $B$ 具有相同的配送组集合或者不同的配送组集合时，都可以证明存在 $r \in B \setminus A$ 使得 $A \cup {r} \in M$。
- 将 $\mathcal{R}$ 按照配送组的索引进行划分，得到 $\mathcal{R} = \bigcup {i = 1}^{I} \mathcal{R}_i$，其中 $\mathcal{R}_i = {(i, j) | \forall j \in J}$，满足划分拟阵的第四个条件。

7.2 算法性能分析

通过对目标函数和约束条件的分析，我们可以证明 RT - alg 算法和 RTW - alg 算法的性能：
- RT - alg 算法 ：由于 RT - alg 算法是基于 $p$ - 交换局部搜索策略，并且目标函数 $H(x)$ 是在两个划分拟阵约束下的非单调、次模函数，我们可以证明该算法具有 $1/4 + \epsilon$ 的近似比。具体来说，通过外层循环寻找多个局部最优解并选择最优的一个，以及内层循环利用局部搜索策略不断优化解，保证了算法能够接近最优解。
- RTW - alg 算法 ：RTW - alg 算法通过迭代的方式交替优化路由选择、传感时间和配送重量分配，由于每次迭代都在不断提高效用，并且算法收敛性保证了迭代次数是有限的，所以该算法最终能够收敛到一个较好的解。

综上所述，复用配送无人机进行空中传感是一个具有挑战性但又非常有前景的应用领域。通过提出的 RT - alg 和 RTW - alg 算法，以及对算法的理论分析，我们为解决 RT 和 RTW 问题提供了有效的方法。这些算法不仅考虑了无人机的能量成本、路由选择、传感时间和配送重量等多个因素，还通过巧妙的目标函数构造和局部搜索策略，实现了近似最优的解决方案。在实际应用中，这些算法可以帮助提高无人机的使用效率，降低能源消耗，同时满足传感和配送的需求。