19、无人机航时联合分配算法性能分析与实验评估

无人机航时联合分配算法性能分析与实验评估

1. 算法性能分析

1.1 RT - alg 算法

RT - alg 算法能够在多项式时间复杂度 $O((IJ)^6 K \lg(IJ) \lg K)$ 内，以 $\frac{1}{4}+\varepsilon$（$\varepsilon > 0$）的近似比获得近似最优解，其中 $I$、$J$ 和 $K$ 分别表示配送点（DG）的数量、可行路线的数量和任务的数量。

证明过程基于以下三个基本思路：
1. 分区拟阵约束与可行解获取 ：分区拟阵约束使得通过 $p$ - 交换局部搜索获取可行解成为可能。因为分区拟阵的约束具有分区基交换性质，对于一组可行路线，总能找到另一组可行路线，它们之间最多交换 $p$ 条路线后仍能得到两个可行解。添加或删除路线可视为路线与空集 $\varnothing$ 的交换。
2. 局部最优解的效用下限 ：内循环中的局部最优解 $S$ 有一个效用下限，但不能保证近似比。通过多次路线交换可以从局部最优解 $S$ 得到全局最优解 $C$，利用目标函数的次模性，在每次交换路线的并集和差集后，可以得到一个基于特定等式的不等式。然而，由于目标函数是非单调的，需要进一步扩展求解。
3. 外循环搜索与近似比提升 ：外循环中搜索多个局部最优解可以提高效用，从而获得具有近似比的近似最优解。在获得 $N_c$ 个局部最优解中的最佳解后，根据相关等式可以得到不等式，进而证明该算法的近似比为 $\frac{1}{4}+\varepsilon$。

最后，分析 RT - alg 算法的时间复杂度，它最多有 $O((IJ)^4 \lg(IJ))$ 次迭代，每次迭代的时间复杂度为 $O((IJ)^2 K \lg(K))$，因此总的时间复杂度为多项式时间复杂度 $O((IJ)^6 K \lg(IJ) \lg K)$。

1.2 RTW - alg 算法

RTW - alg 算法在每次迭代中效用非递减，能够在多项式时间复杂度 $O((IJ)^6 K \lg(IJ) \lg K)$ 内实现收敛。

证明过程如下：
1. 设 $U(x^{(n + 1)}, t^{(n + 1)}, w^{(n)})$ 和 $U(x^{(n + 1)}, t^{(n + 1)}, w^{(n + 1)})$ 分别表示算法第 $n$ 次迭代中步骤 3 和步骤 4 实现的效用。$x^{(n + 1)}$ 和 $t^{(n + 1)}$ 通过算法 6.2 利用初始解 $x^{(n)}$ 进行更新，只有当新解至少有 $\frac{\varepsilon}{I^4J^4}$ 的效用提升时，才会替换旧解，因此有 $U(x^{(n + 1)}, t^{(n + 1)}, w^{(n)}) \geq U(x^{(n)}, t^{(n)}, w^{(n)})$。
2. $w^{(n + 1)}$ 通过贪心算法根据 $x^{(n + 1)}$、$t^{(n + 1)}$ 和 $w^{(n)}$ 计算得到。由于给定 $x$ 和 $t$ 的 RTW 问题是一个具有整数变量 $w$ 的有界背包问题，所以有 $U(x^{(n + 1)}, t^{(n + 1)}, w^{(n + 1)}) \geq U(x^{(n + 1)}, t^{(n + 1)}, w^{(n)})$。

综上，RTW - alg 算法在每次迭代中实现了非递减的解，并且由于 RTW 问题的值有上界，所以该算法能够保证收敛。根据 RT - alg 算法的时间复杂度，RTW - alg 算法的时间复杂度也为 $O((IJ)^6 K \lg(IJ) \lg K)$。

2. 实验评估

2.1 基于轨迹的模拟实验

2.1.1 评估方法与设置

利用北京市的配送数据集，在约 $6084 km^2$ 的大规模区域内进行了广泛的模拟实验，该区域有 239 个配送点（DG）。每个 DG 可用的无人机数量随机在 3 到 7 之间变化。无人机的电池容量、配送重量和不同重量下的能量成本根据实际能量消耗轨迹设置。该区域随机分布着 10000 个传感任务，效用函数设置为 $G_k(t_k) = \min(u_kt_k, U_k)$，其中任务的效用权重 $u_k$ 和效用上限 $U_k$ 分别服从 $[25, 50]$ 和 $[1000, 2000]$ 的均匀随机分布。将实地实验中的 $235872 J$ 作为参考电池容量，为模拟不同 DG 的无人机，让 $E_i$ 在 $[100, 200] KJ$ 内变化。总效用根据相关等式计算，总体额外能量成本的预算在 150 到 200 kJ 之间变化。实验参数设置为 $\varepsilon = 0.01$，$\lambda = 0.5$，$p = 1$，$N_c = 2$，$N = 100$。所有实验在华硕计算机（3 GHz，192 GB RAM）上进行，计算 20 次运行的平均结果。

为了全面评估算法的性能，采用了以下六种基线方法：
1. 贪心效用算法（GU） ：贪婪地选择具有最大效用的路线。
2. 贪心成本效率算法（GE） ：贪婪地选择成本效率最高的路线，即效用与额外能量成本的比值最大的路线。
3. 贪心距离算法（GD） ：贪婪地选择增量距离最小的路线。
4. 启发式算法（HA） ：借鉴相关启发式算法（如模拟退火算法）来搜索近似最优路线。
5. 随机路线算法（RA） ：在约束条件下随机选择路线。
6. 最优方法（OPT） ：使用暴力搜索方法获取最优解，但由于其指数级的时间复杂度，仅在小规模场景中使用。

2.1.2 RT - alg 算法性能

• 不同预算和 DG 数量下的性能 ：在不同预算下，RT - alg 算法的效用始终高于其他方法，平均分别超过 GE、GU、GD、HA 和 RA 19.6%、39.8%、43.0%、95.7% 和 199.4%。除了 RA 由于随机路线选择性能波动外，RT - alg、GE、GU、GD 和 HA 的效用大致随预算增加而增加。在不同 DG 数量下，RT - alg 平均分别超过上述五种方法 29.6%、51.4%、41.9%、101.8% 和 242.0%，并且 DG 数量的变化对效用影响较小。
• 与 OPT 方法的比较 ：在小规模场景（7 个 DG）中，比较 RT - alg 与 OPT 方法的效用和时间成本。OPT 方法的时间成本随 DG 数量呈指数级增长，而 RT - alg 的成本可忽略不计。例如，当有 7 个 DG 和 28 条候选路线时，OPT 方法的时间成本高达约 1.7 小时，而 RT - alg 仅需 2.3 秒。与 OPT 方法相比，RT - alg 平均可以获得 97.5% 的最优效用，时间成本仅为 0.04%。此外，在每个 DG 的路线数量少于 18 的条件下，评估 RT - alg 的近似比，其平均近似比为 98.3%，远高于 $\frac{1}{4}$，说明 $\frac{1}{4}$ 的近似比只是 RT - alg 的下限。

不同算法在不同路线数量下的运行时间比较如下表所示：
| 算法 | J = 12 | J = 18 | J = 24 | J = 32 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| RT | 1.0606 | 1.2261 | 1.2965 | 1.4044 |
| GE | 0.1394 | 0.1424 | 0.1531 | 0.1814 |
| GU | 0.0744 | 0.0755 | 0.0761 | 0.0914 |
| GD | 0.0102 | 0.0119 | 0.0125 | 0.0139 |
| RA | 0.0127 | 0.0148 | 0.0148 | 0.0145 |
| OPT | 1.1700e + 03 | 3.6335e + 04 | - | - |

mermaid 流程图展示 RT - alg 算法性能评估流程：

graph LR
    A[设置实验参数] --> B[运行不同算法]
    B --> C[记录不同预算和 DG 数量下的效用]
    C --> D[比较 RT - alg 与其他算法的效用]
    B --> E[在小规模场景下比较 RT - alg 与 OPT 的效用和时间成本]
    E --> F[评估 RT - alg 的近似比]

2.1.3 RTW - alg 算法性能

• 不同预算、DG 数量和路线数量下的性能 ：在不同预算下，RTW - alg 平均分别超过 GE、GU、GD、HA 和 RA 6.0%、20.2%、64.2%、23.2% 和 75.0%；在不同 DG 数量下，分别超过 5.8%、27.1%、42.3%、25.7% 和 79.4%；在不同每个 DG 的路线数量下，分别超过 6.6%、16.3%、37.3%、20.2% 和 69.4%。需要注意的是，DG 数量的增加并不能提高这些方法的效用，因为随机分布的 50 个 DG 有足够的可行路线覆盖大部分任务，此时提高效用的关键因素是能量预算。
• 收敛性评估 ：RTW - alg 算法的效用在每次迭代中都得到提升，并且在六次迭代后迅速收敛，这与算法性能分析中的理论证明一致。
• 不同 $\lambda$ 设置下的性能 ：当 $\lambda$ 从 0.1 变化到 0.9 时，RTW - alg 算法在总效用方面始终优于五种基线方法。与 GU、HA、GE、GD 和 RA 相比，总效用平均分别提高 49.2%、110.0%、14.0%、34.8% 和 348.1%。此外，参数 $\lambda$ 可以在传感效用和配送效用之间进行权衡，RTW - alg 算法的传感效用随 $\lambda$ 增加而上升，而配送效用随 $\lambda$ 增加而下降，可以根据具体应用中传感效用和配送效用的重要性来设置该参数。

2.2 无人机 AQI 监测案例研究

模拟了一个大规模的基于轨迹的案例研究，利用北京市四环内 83 个重要兴趣点（POI）的数据集和配送站数据集，模拟复用配送无人机监测城市 POI 的空气质量指数（AQI）。所有方法的效用随预算增加而提高，我们的方法在各种预算下都能获得最佳效用，平均分别超过 GE、GU、GD、HA 和 RA 36.2%、39.4%、19.6%、100.5% 和 163.3%。

综上所述，基于轨迹的模拟实验表明，我们的方法在有限预算下平均可以比五种基线方法提高 36.2% 的传感和配送效用，并且平均可以获得 97.5% 的最优效用，而时间成本仅为 OPT 方法的 0.04%。

2.2 实地实验

2.2.1 系统实现

构建了一个约 2kg 的配送四轴飞行器，安装了飞行控制器（Pixhawk 2.4.8）和电池（12.6V，5200mAh，235,872J）。使用装有 Mission Planner 的计算机作为控制站，通过无线收发器与无人机通信。控制站能够控制无人机的飞行（如路线和传感时间），并接收其实时飞行状态、能量消耗和传感数据。此外，使用机载电源模块实时监测无人机的电流和电压，以精确测量飞行/悬停的能量消耗，并通过带有砝码的配送箱精确改变配送重量。

2.2.2 实验设置与基线

考虑一个小规模实验场景，在足球场上，一个配送点的两架无人机以 5m/s 的速度从仓库向服务站运送总计 600g 的包裹。球场上分配了七个具有不同效用权重和上限的传感任务。由于小规模实验的候选路线只有六条，因此仅使用贪心距离算法（GD）作为基线。为了评估航时 - 重量联合优化各组件对总体性能的影响，构建了 RTW - alg 的三个变体进行消融研究：
1. RTWwo/w ：不使用配送重量的 RTW - alg 算法。
2. RTWwo/wt ：不优化配送重量和传感时间的 RTW - alg 算法。
3. RTWwo/s ：仅进行包裹配送，不进行人群传感的 RTW - alg 算法。

2.2.3 实验结果

• 效用评估 ：如图所示，在效用方面，RTW - alg 平均分别超过 GD、RTWwo/wt、RTWwo/w 和 RTWwo/s 78.8%、22.1%、8.4% 和 124.7%。这表明航时 - 重量联合优化的各个组件能够提高效用。例如，RTWwo/wt 为了实现最大效用优化了路线选择，选择了路线 4 和 6，而不是 GD 选择的最短距离路线，效用提高了 46.4%。与 RTWwo/w 选择相同配送重量（300g）的路线 4 和 5 相比，RTW - alg 考虑了配送重量的最优分配，让一架无人机以最低重量（50g）飞行路线 6 而不是路线 5，从而覆盖了更多具有更高效用的传感任务。此外，由于野外实验中无人机的风、方向变化和加速/减速会增加实际能量消耗，在能量成本约束下会降低传感效用，因此 GD、RTW - alg、RTWwo/w 和 RTWwo/wt 的实际效用总是低于理论结果。
• 能量消耗评估 ：通过能量利用率（实际能量消耗与无人机电池容量的比值）评估 RTW - alg 的能量消耗。RTW - alg、RTWwo/w、RTWwo/wt、GD 和 RTWwo/s 的能量利用率分别为 96.7%、95.1%、93.8%、56.4% 和 24.5%。因此，RTW - alg 通过航时 - 重量联合优化实现了最高的能量利用率。

不同算法的效用和能量消耗比较如下表所示：
| 算法 | 效用提升比例 | 能量利用率 |
| ---- | ---- | ---- |
| RTW - alg | - | 96.7% |
| RTWwo/w | 低于 RTW - alg 8.4% | 95.1% |
| RTWwo/wt | 低于 RTW - alg 22.1% | 93.8% |
| GD | 低于 RTW - alg 78.8% | 56.4% |
| RTWwo/s | 低于 RTW - alg 124.7% | 24.5% |

mermaid 流程图展示实地实验流程：

graph LR
    A[构建实验系统] --> B[设置实验场景和任务]
    B --> C[选择基线和变体算法]
    C --> D[运行实验并记录数据]
    D --> E[评估效用和能量消耗]

3. 总结

通过对 RT - alg 和 RTW - alg 算法的性能分析和实验评估，得出以下结论：
1. 算法性能 ：RT - alg 算法能够在多项式时间内以接近 $\frac{1}{4}+\varepsilon$ 的近似比获得近似最优解，RTW - alg 算法在每次迭代中效用非递减并能在多项式时间内收敛。
2. 实验结果 ：基于轨迹的模拟实验和实地实验表明，所提出的算法在效用和能量利用方面均优于多种基线方法。在有限预算下，能够显著提高传感和配送效用，并实现较高的能量利用率。航时 - 重量联合优化的各个组件对提高性能起到了重要作用。

总之，这些算法为无人机的航时和重量联合优化提供了有效的解决方案，具有实际应用的潜力。在实际应用中，可以根据具体需求调整参数，如 $\lambda$，以平衡传感效用和配送效用。未来，可以进一步研究如何在更复杂的场景中优化这些算法，提高其适应性和性能。