16、度量时态逻辑与图的诱导路径函数相关研究

度量时态逻辑与图的诱导路径函数相关研究

1. 度量时态逻辑的多值语义

1.1 定理与证明

在度量时态逻辑中，有如下重要定理：假设 $M$ 是一个时态度量，那么 $K_M$（最小正常 $M$ - 模态逻辑）相对于 $M_M$（所有基于 $M$ 的时态度量模型类）具有有限模型性质。

证明过程如下：
- 设 $\phi$ 是一个 $L_{MT}(M)$ 公式，取 $\Sigma$ 为 $\phi$ 的度量时态子公式集。
- 假设 $M$ 是一个 $M$ - 模型，令 $M_t$ 是 $M$ 通过 $\Sigma$ 的度量时态过滤。根据引理 7，$M_t$ 是一个过滤且是 $M$ - 模型。
- 由于 $M$ 是有限的，显然 $\Sigma$ 是有限的。根据引理 5，$M_t$ 是一个有限 $M$ - 模型。
- 再根据定理 3，有 $M, w \vDash \phi$ 当且仅当 $M_t, [w] \vDash \phi$。

基于此定理，可得出推论：$K_M$ 是可判定的。

1.2 其他度量时态算子

除了常见的度量时态算子，还有其他类型的算子，如 $G_{=a}$、$H_{=a}$、$G_{\leq a}$ 和 $H_{\leq a}$，它们的满足关系定义如下：
| 算子 | 满足关系 |
| — | — |
| $G_{=a}$ | $M, w \vDash G_{=a} \phi$ 当且仅当对于所有满足 $\sigma(w, u) = a$ 的 $u$，有 $M, u \vDash \phi$ |
| $H_{=a}$ | $M, w