15、度量时态逻辑的多值语义

度量时态逻辑的多值语义

1. 引言

在模态逻辑的研究中，Kripke 框架是一个重要的概念。传统的可达关系是一个二值函数 (R : W ×W →{0, 1})，通过将集合 ({0, 1}) 推广为一个值集 (Q)，我们得到了多值框架。这为多模态逻辑的研究提供了一个通用框架，并且在一定限制下，多值框架可用于解释度量时态算子，从而为度量时态逻辑带来了新的视角。

2. 语言和语义

2.1 基本概念

• 标准算术模型 ：设 (N = (N, 0, \leqslant_N, +_N)) 是标准的算术模型，其初始有限段是指对于某个 (m \in N)，集合 ({x \in N : x \leqslant m})。
• 逆良序集 ：一个逆良序集（简称 i.w.o 集）是一个对 ((Q, \leqslant))，其中 (\geqslant) 对非空集合 (Q) 进行良序排序。例如，({x \in N : x \leqslant m}) 由 (\geqslant_N) 逆良序排序。
• 下集和上集 ：在有序集 (Q) 中，如果 (a \leqslant b \in X) 意味着 (a \in X)，则 (X) 是 (Q) 的下集；如果 (a \in X) 且 (a \leqslant b) 意味着 (b \in X)，则 (X) 是 (Q) 的上集。分别用 (\downarrow X) 和 (\uparrow X) 表示由 (X) 生成的下集和上集。集合 (X) 的基数用 (|X|) 表示。
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