46、潜能力模型与离散状态马尔可夫模型

潜能力模型与离散状态马尔可夫模型

1. 潜能力模型

1.1 拉施模型（Rasch Model）

在考试场景中，学生 $s$ 回答问题 $q$ 的结果可以用 $x_{qs}$ 表示，答对时 $x_{qs}=1$，答错时 $x_{qs}=0$。对于 $N$ 个学生和 $Q$ 个问题，所有学生的表现可以用一个 $Q×N$ 的二进制矩阵 $X$ 来表示。我们的目标是基于这些数据评估每个学生的能力。

一种简单的方法是将学生的能力定义为其答对问题的比例。但更细致的分析需要考虑到问题的难度差异，即答对难题的学生应该比答对相同数量简单题的学生获得更高的评价。然而，我们事先并不知道哪些问题是难题，这需要根据矩阵 $X$ 进行估计。

为了考虑问题难度的固有差异，我们可以基于学生的潜在能力 $\alpha_s$ 和问题的潜在难度 $\delta_q$ 来建模学生答对问题的概率。一个简单的生成模型如下：
[p(x_{qs} = 1|\alpha, \delta) = \sigma (\alpha_s - \delta_q)]
其中，(\sigma (x) = \frac{1}{1 + e^{-x}})。在这个模型下，学生的潜在能力高于问题的潜在难度越多，学生答对问题的可能性就越大。

1.1.1 最大似然训练

我们可以使用最大似然法来找到最佳参数 $\alpha$ 和 $\delta$。在独立同分布（i.i.d.）假设下，数据 $X$ 在该模型下的似然函数为：
[p(X|\alpha, \delta) = \prod_{s=1}^{S}\prod_{q=1}^{Q} \sigma (\alpha_s - \d