3、概率推理与贝叶斯规则的应用

概率推理与贝叶斯规则的应用

1. 概率推理基础

概率推理的核心范式是识别环境中所有相关的变量 (x_1, \cdots, x_N)，并建立它们相互作用的概率模型 (p(x_1, \cdots, x_N))。推理过程是通过引入证据，将变量设定为已知状态，然后基于这些证据计算感兴趣的概率。概率规则与贝叶斯规则相结合，构成了一个完整的推理系统，传统演绎逻辑是其特殊情况。

1.1 汉堡与疾病示例

• 背景信息 ：医生发现患有克雅氏病（KJ）的人几乎都吃汉堡，即 (p(\text{Hamburger Eater}|\text{KJ}) = 0.9)，而个体患 KJ 的概率目前较低，约为十万分之一。
• 情况一 ：假设吃大量汉堡很普遍，(p(\text{Hamburger Eater}) = 0.5)，则吃汉堡的人患 KJ 的概率为：
  [
  \begin{align }
  p(\text{KJ}|\text{Hamburger Eater})&=\frac{p(\text{Hamburger Eater}, \text{KJ})}{p(\text{Hamburger Eater})}\
  &=\frac{p(\text{Hamburger Eater}|\text{KJ})p(\text{KJ})}{p(\text{Hamburger Eater})}\
  &=\frac{\frac{9}{10} \times \frac{1}{100000}}{\frac{1}{2}}\
  &= 1.8 \