46、概率推理：从全联合分布到贝叶斯规则的应用

概率推理：从全联合分布到贝叶斯规则的应用

1. 基于全联合分布的推理

在概率推理中，我们常常需要根据观测到的证据来计算查询命题的后验概率。全联合分布可以作为一个“知识库”，从中我们能够推导出所有问题的答案。

以一个简单的领域为例，该领域包含三个布尔变量：牙痛（Toothache）、蛀牙（Cavity）和探针卡顿（Catch，即牙医的钢探针卡在牙齿里）。其全联合分布是一个 2×2×2 的表格，如下所示：
| | toothache | ¬toothache |
| — | — | — |
| catch | cavity: 0.108
¬cavity: 0.016 | cavity: 0.072
¬cavity: 0.144 |
| ¬catch | cavity: 0.012
¬cavity: 0.064 | cavity: 0.008
¬cavity: 0.576 |

根据概率公理，联合分布中的概率之和为 1。我们可以通过识别命题为真的可能世界，并将它们的概率相加，来直接计算任何命题的概率。例如，对于“cavity∨toothache”这个命题，有六个可能世界使其为真，其概率为：
[P(cavity \vee toothache) = 0.108 + 0.012 + 0.072 + 0.008 + 0.016 + 0.064 = 0.28]

提取某个变量子集或单个变量的分布也是常见的任务。例如，将第一行的条目相加，可得到蛀牙的无条件或边际概率：
[P(cavity) = 0.108 + 0.012 + 0.072 + 0.008 = 0.2]