欧拉定理ext证明[转自知乎]

由于今天做题时遇到了这个神奇的又找不到什么资料的定理就学了一发=w=
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求证：

$$a^x\equiv a^{x\mod \varphi(m)+\varphi(m)}\pmod m$$
前提条件是 $x\ge \varphi(m)$

首先你需要会证普通的欧拉定理，这个网上资料很多自己查就好了
接下来证明若$x\equiv y \pmod {m1}$,且$x\equiv y \pmod {m2}$,则$x\equiv y \pmod {lcm(m1,m2)}$
设x=y+z1m1=y+z2m2,则z1m1=z2m2,显然这个式子是lcm(m1,m2)的倍数
就可以推出$x\equiv y \pmod {lcm(m1,m2)}$了
推广一下，当对于任意i都满足$x\equiv y \pmod {m_i}$，那么$x\equiv y \pmod {lcm(m_i)}$

接下来再证明一个东西，设p为任意质数，q为大于1的自然数，$\varphi(p^q)>=q$
因为$\varphi(p^q)=p^{q-1}(p-1)$,当p>=3时显然成立，当p=2,q=2时可以取等号

然后证明原命题，考虑归纳

首先证明当m=p^q时定理成立
当a,p互质时根据欧拉定理显然成立
然后证明当a是p倍数时成立
设a等于pk，考虑p的指数
因为$x\ge \varphi(m)$由第二个证明的东西可得的指数是>=q的
右边因为有$+\varphi(m)$存在由第二个证明的东西可得所以指数也一定>=q
那么$a^x\equiv 0\equiv a^{x\mod \varphi(p^q)+\varphi(p^q)}\pmod {p^q}$

当m任意时，设$m=\prod_{i=1}^{n}{p_i}^{k_i}$，那么根据$a^x\equiv a^{x\mod \varphi({p_i}^{k_i})+\varphi({p_i}^{k_i})}\pmod {{p_i}^{k_i}}$
然后根据第一个证明的式子可以把所有的${p_i}^{k_i}$取个lcm也是成立的
于是得出原式对m任意都是成立的
以上，原命题得证