21、网络阻塞博弈中的线性损失函数解读

网络阻塞博弈中的线性损失函数解读

1. 线性损失函数与对偶线性规划

在网络阻塞博弈里，我们需要找到权重 $\beta \geq 0$，满足以下条件：
- 对于所有的生成树 $T \in \mathcal{T}$，有 $\sum_{e\in E(T)} \beta_e\lambda(T, e) \geq 1$ 。
- 同时，$\sum_{e\in E} \beta_e = h’(G)$ 。

这里的最优解权重 $\beta_e$ 有着重要意义。设 $T$ 为任意生成树，$r$ 为反向树形图的根节点，那么有：
$\sum_{e\in E(T)} \beta_e\lambda(T, e) = \sum_{e\in E(T)} \beta_e\lambda_r(T, e) = \sum_{v\in V(G)\setminus{r}} \left(\sum_{e\in{\text{从 } v \text{ 到 } r \text{ 的路径上的边}}} \beta_e\right) \geq \sum_{v\in V(G)\setminus{r}} \pi_r(v) \geq 1$ 。

由于约束矩阵仅包含 -1、0 和 1，对偶线性规划问题能够在强多项式时间内求解，这意味着我们可以在强多项式时间内得到最优对抗策略。

2. 纳什均衡与关键边集

• 纳什均衡的收益 ：在每个纳什均衡中，对手的期望收益（或运营商的期望损失）为 $\frac{1}{h’(G)}$ 。最优运营商策略和最优对抗策略构成了博弈的纳什均衡。$h’(G)$ 和 $\frac{1}{h’(G)}$ 可分别作为网