13、时变二次优化中的零动态与梯度动态模型

时变二次优化中的零动态与梯度动态模型

1. 引言

时变二次最小化（QM）问题是一类数学无约束优化问题，在众多科学和工程领域中广泛存在，如信号处理、电磁场和等离子体科学等。过去几十年里，人们分析了许多解决QM问题的算法和方法，例如梯度法、下降法、牛顿法和拟牛顿法等。这些算法大多在数字计算机上进行数值计算。

随着技术发展，神经动态模型、算法和方法逐渐成为解决QM问题的有力选择，它们具有分布式并行计算和便于硬件实现的特点。其中，连续时间零动态（CTZD）模型在时变二次优化中的收敛性和鲁棒性已得到研究。与基于标量值范数的非负能量函数的梯度动态（GD）模型不同，CTZD模型基于向量值不定且下无界的误差函数进行设计，并且利用时变系数的时间导数信息，从而在收敛性能上优于GD模型。

为了便于潜在的硬件实现（如数字电路）和数值算法开发，本文提出并研究了三种离散时间零动态（DTZD）模型，分别是DTZDK模型（已知时变系数时间导数信息）、DTZDU模型（未知时变系数时间导数信息）和S - DTZD模型（简化形式）。

2. 问题描述与CTZD模型

考虑如下时变QM问题：
[
\minimize f (x(t),t) = \frac{x^T(t)P(t)x(t)}{2} + q^T(t)x(t)
]
其中，时变系数矩阵 (P(t) \in R^{n×n}) 在任意时刻 (t \in [0, +\infty)) 是正定且对称的，系数向量 (q(t) \in R^{n}) 也是平滑时变的。向量 (x(t) \in R^{n}) 是未知的，我们的目标是在任意时刻 (t \in [0, +\infty)) 计算出 (x(t))。