12、矩阵平方根求解：ZD模型与激活函数的应用

矩阵平方根求解：ZD模型与激活函数的应用

1. 引言

矩阵平方根问题在众多科学领域中广泛存在。为解决该问题，人们提出了多种方法，如牛顿迭代法及其变体、DB迭代法、CR迭代法等数值算法，不过这些方法因串行处理的特性，在解决大规模或在线问题时效率可能较低。而神经动力学方法凭借其并行分布的特性以及适合硬件实现的优势，成为在线计算的有力替代方案。为便于硬件实现，离散时间归零动力学（DTZD）模型被提出用于矩阵平方根求解，并且该模型在特定条件下可简化为牛顿迭代法。

2. 问题描述与ZD模型

2.1 问题表述

考虑时变矩阵平方根方程：
[X^2(t) - A(t) = 0]
其中，(A(t) \in R^{n×n}) 是正定的时变矩阵，其时间导数 (\dot{A}(t) \in R^{n×n}) 已知（或至少可精确测量），(X(t)) 是待求解的 (A(t)) 的时变平方根。假设满足平方根存在条件：若时变矩阵 (A(t) \in R^{n×n}) 在任意时刻 (t \in [0, +∞)) 都是正定的，则存在 (A(t)) 的时变矩阵平方根 (X(t) \in R^{n×n})。

2.2 CTZD模型

• 误差函数定义 ：首先定义矩阵值误差函数 (E(t) = X^2(t) - A(t) \in R^{n×n})。
• 误差函数时间导数设计 ：设计 (\dot{E}(t) \in R^{n×n})，使得 (E(t)) 的每个元素 (e_{ij}(t) \in R) 收敛到零，即 (\lim_{t