19、时间序列与概率统计相关知识解析

时间序列与概率统计相关知识解析

1. 时间序列中的因果推断

在时间序列分析里，因果推断是一个重要的研究方向。Shajarisales等人在2015年的研究表明，在特定条件下，反向的类似独立性条件通常不成立，除非在频率区间上 $|\tilde{h}|$ 为常数这种非一般情况。

有一个定理（定理10.7）指出，如果特定条件（10.13）成立，并且 $|\hat{h}|$ 在 $\nu$ 中不是常数，那么 $S_{YY}$ 与 $1/|\tilde{h}|$ 呈负相关，即 $\langle S_{YY} \cdot 1/|\tilde{h}|^2 \rangle < \langle S_{YY} \rangle \cdot \langle 1/|\tilde{h}|^2 \rangle$。其证明基于Jensen不等式，该不等式表明 $1/\langle |\tilde{h}|^2 \rangle < \langle 1/|\tilde{h}|^2 \rangle$，从而推出上述结论。

Shajarisales等人还提出了一个简单的因果推断算法，该算法通过检查哪个方向更接近满足SIC（特定独立性条件）来进行因果推断。他们在各种模拟和真实数据集的实验中，使用SIC得到了一些令人鼓舞的结果。

2. 动态因果建模（DCM）

动态因果建模（DCM）是一种专门用于推断不同大脑区域活动之间因果关系的技术。假设向量 $z \in R^n$ 编码了 $n$ 个大脑区域的活动，$u \in R^m$ 是一个扰动向量，那么 $z$ 的动态变化由微分方程 $\frac{d}{dt} z = F(z, u, \theta)$ 描述，其中 $F$ 是已知函数