HDU6143 组合数学递推

最新推荐文章于 2018-07-24 15:15:39 发布

acunstoppable

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该博客讨论了HDU6143问题，涉及姓名由不同字符组成的组合计数。通过递推公式f(x) = x^n - Σ C(x, i) * f(x-i) (i从1到x-1)解决，其中x表示字符种类，n为名字和姓的长度。博主分享了正难则反的解题思路，强调在处理大数运算时要避免溢出，适时进行取模操作。" 126752117,15161599,分库分表后的主键解决方案,"['数据库', '后端开发', 'Java', '高并发', '分布式']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：每个名字有名和姓两部分，两部分长度都是n，给定m种字符，且名和姓中不能有同一种字符，问有几种可能性？
思路：

如果n个长度用x个字符表达，那就相当于n个不同小球放在x个不同的盒子里。设其结果为f(x)，那么f(x) = x ^ n - C(x, 1) * f(x - 1) - C(x, 2) * f(x - 2) …… - C(x, x - 1) * f(1).
然后就枚举两边各用了多少种字符统计结果。

反思：
1、正难则反的思想；
2、不应太早就放弃，必须坚持；
3、大数相减记得先加MOD再%，每一次有可能超MOD的乘法就%一下。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int MAXN = 2000 + 10;
ll c[MAXN][MAXN];
ll f[MAXN];
ll mod_pow(ll x, ll n)
{
    ll res = 1;
    x = x % MOD;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1) res = res *x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
void Comb()
{
    for(int i = 1; i < MAXN; i++)
    {
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++)
        {
            c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % MOD;
        }
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    Comb();
    int t; cin >> t;
    while(t--)
    {
        int n, m; cin >> n >> m;
        for(int i = 1; i <= n && i < m; i++)
        {
            f[i] = mod_pow((ll)i, (ll)n);
            for(int j = i - 1; j >= 1; j--)
            {
                f[i] = (f[i] - c[i][j] * f[j] % MOD + MOD) % MOD;
            }
        }
        ll ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n && i < m; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n && j <= m - i; j++)
            {
                ans += c[m][i] * f[i] % MOD * c[m - i][j] % MOD * f[j] % MOD;
                ans %= MOD;
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
}