hdu6143 Killer Names 2017多校第八场1011 组合数学

最新推荐文章于 2019-01-27 17:25:52 发布

原创最新推荐文章于 2019-01-27 17:25:52 发布 · 660 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#acm #多校 #hdu #组合数学

组合数学专栏收录该内容

0 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一个计数问题，即如何计算使用特定数量的字符构造固定长度姓名的方法总数，同时避免重复。通过动态规划的方法，文章给出了详细的解析过程，并提供了一段C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6143

题意：有m个字符，由你来取名字，姓和名。一个字符只能出现在姓或者名，或者不出现。姓和名的长度为n。求可以取多少个不重复的名字。

题解：一开始的思路：姓里面放i个字符，就是i^n；名里面还可以选m-i个字符，就是(m-i)^n；再乘上组合数，答案就是sum(C(m,i)*i^n*(m-i)^n),i∈[1,m]。

上面那个就是公式，写几个后会发现，姓里面有重复计算的部分，要减去这一部分。

dp[i]：m里面取i个放在姓中，这i个都必须出现(i^n包含了出现小于i个字符的情况)。

比如dp[3]=3^n-C(3,2)*(2^n-C(2,1)*1^n)-C(3,1)*1^n。这里好好理解一下，是去重)。

上式转化就是：dp[3]=3^n-C(3,2)*dp[2]-C(3,1)*dp[1]。

所以有递推方程：

dp[i]=i^n-C(i,i-1)*dp[i-1]-C(i,i-2)*dp[i-2]-...-C(i,1)*dp[1]

答案就是sum(C(m,i)*dp[i]*(m-i)^n),i∈[1,m](组合数*姓*名)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define debug cout<<"aaa"<<endl
#define d(a) cout<<a<<endl
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define LL long long
#define lson l,mid,root<<1
#define rson mid+1,r,root<<1|1
#define MIN_INT (-2147483647-1)
#define MAX_INT 2147483647
#define MAX_LL 9223372036854775807i64
#define MIN_LL (-9223372036854775807i64-1)
using namespace std;

const int N = 2000 + 5;
const LL mod = 1000000000 + 7;
const double eps = 1e-8;

LL quickMod(LL a,LL b){
	LL ans=1;
	a%=mod;
	while(b){
		if(b&1)
			ans=(ans*a)%mod;
		a=(a*a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
} 

LL quick(LL a,LL b){
	LL ans=0;
	a%=mod;
	while(b){
		if(b&1)
			ans=(ans+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
} 

LL C[N][N],dp[N];

void Init(){
	mem(C,0);
	for(int i=1;i<N;i++){
		C[i][0]=1;C[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++){
			C[i][j]=((C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod+mod)%mod;
		}
	}
}

int main(){
	int t;
	Init();
	LL n,m,ans,a;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		ans=0,mem(dp,0);
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		//打表递推数组，这是姓的部分，要去重 
		for(LL i=1;i<=m;i++){
			dp[i]=quickMod(i,n);
			for(int j=1;j<i;j++){
				dp[i]=((dp[i]-C[i][j]*dp[j])%mod+mod)%mod;
			}
		}
		//求和：C(m,i)*dp[i]*(m-i)^n 
		for(LL i=1;i<m;i++){
			a=quick(dp[i],quickMod(m-i,n));
			ans+=quick(C[m][i],a);
			ans%=mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	} 
	return 0;
}