20200401学习笔记

总结这篇文章前我有很多的疑问：卷积的几何意义是什么？信号卷积的物理意义是什么？为什么信号通过一个系统要进行卷积运算？时域的卷积为什么等于频域简单的相乘？图像的卷积又是什么？

怎么理解卷积？

参考知乎
先上公式：

1. 连续定义：
   $$(f\ast g)(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$
   2.离散定义
   $$(f\ast g)(t)=\sum _{\tau =-\infty }^{+\infty }f(\tau )g(t-\tau )$$
   看了很多知乎大佬的分析，我觉得最简单理解的就是：先想象一个二元函数$U(x,y)=f(x)g(y)$，这是一个平面，然后沿着$x+y=t$做整条线的积分，结果就是$(f\ast g)(t)$（$t$取能取到的所有）,相当于把原来的二元函数压缩到了一维空间。（想象卷毛巾的过程）

输入信号通过一个系统，输出信号为什么是与系统冲击响应的卷积？

参考知乎大佬
首先：任意输入信号都可以写成是自身和冲击信号的卷积：
$f(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$
即输入信号是无穷多个比例不同的冲击信号的叠加，因此系统输入也可以看做是无穷多个冲击响应的叠加：
$y(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau =(f\ast h)(t)$

信号时域上做卷积为什么等于频域上信号的乘积？

参考csdn大佬其实是积分上推导

怎么理解图像的卷积？（二维卷积的理解）

参考
其实对于每个点（$u,v$）而言，保证乘积和的每一项下标对应和都为（$u,v$）（也就是为什么将卷积核旋转180${}^{\circ }$），和一维中的那条$x+y=t$的线的意义是一样的。