时域卷积,频域相乘

Continuous function – FT & Conv

有两个时域函数 $g(t)$ 和 $h(t)$, 则有时域卷积等价于频域相乘 (反之亦然, 仅多一个系数), 即

结论：FT$(g\ast h)$=FT$(g)\times$FT$(h)$

证明：两者卷积后的函数 $p(t)$ 可写作

$$p(t)=g(t)\ast h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

进一步, $p(t)$ 的傅里叶变换为

$$\begin{gathered} P(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(t)e^{j2\pi ft}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(t-\tau )d\tau e^{-j2\pi ft}dt \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )e^{-j2\pi ft}dt{\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t^{\prime })e^{-j2\pi f{t}^{\prime }}d{t}^{\prime }{e}^{-j2\pi f\tau }{\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau )d\tau \\ =H(f){\int }_{-\infty }^{\infty }g(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau =G(f)H(f) \end{gathered}$$

Discrete sequence – DFT & Conv

有两个定义在整数上的函数 $g[n]$ 和 $h[n]$, 它们的卷积可以写作

$$p[n]=\sum _{i=0}^{\infty }g[i]h[n-i]$$

但是当 $g[n]$ 和 $h[n]$ 有限长 $N$, $M$时, 他们的卷积可以写作

$$p[n]=\sum _{i=0}^{N-1}g[i]h[n-i],n=0,1,2,...,N+M-1$$

结论：DFT$(g\ast h)$ = DFT$(g)\times$DFT$(h)$ 成立当且仅当K点DFT变换的长度 $K>N+M-1$.
这个很显然，因为 $g\ast h$ 卷积出来的有 $N+M-1$ 点，DFT点数不能小于这个值。

OFDM symbol – Cyclic Conv

在OFDM信号处理中，$g[n]$ 一般是对IDFT后一个OFDM符号的 $N$ 点采样. $h[n]$ 一般是多径信道 (其长度 $M$ 一般会小于 $N$)。 在接收端，我们的 DFT 只会做 $N$ 点的，这就需要 CP 把信道的卷积变成循环卷积。

设$g[n]$ 和 $h[n]$ 长度为 $N$, $M$, 且 $M\le N$. 他们的循环卷积可以写作

$$p[n]=g[n]\otimes h[n]=\sum _{i=1-N}^{N-1}g[i]h[n-i],n=0,1,2,...,N-1$$

公式里面的 $N$ 其实都应该是 $\max (N,M)$，若 $M>N$ 就把 $g[n]$ 和 $h[n]$ 倒反就行了。

循环卷积等价于把其中长的那个序列（图中是 $g[n]$）无限循环延拓，在用另一个短序列滑动相关。这样得出的序列 $p[n]$ 是一个周期序列，且周期为长序列的长度 (图中是$N$)。每个$p[n]$都是 $\min (N,M)$ 个点相关的结果