50、高效零知识认证：MinRank问题的深入解析

高效零知识认证：MinRank问题的深入解析

1. 零知识协议概述

零知识协议是一种交互式协议，涉及两个实体：证明者（Prover，P）和验证者（Verifier，V），它们都是概率图灵机。验证者和证明者进行交互，最终验证者给出接受或拒绝的答案。

在已知的零知识协议中，存在欺诈的可能性。作弊者通常能够回答某些类型的问题（这些问题是他们事先准备好的），但并非所有问题。协议的设计使得对一个问题的回答不泄露任何信息（零知识），而回答所有问题则会揭示证明者的秘密（可靠性）。安全性实际上基于证明者无法预测验证者的问题。如果我们重复执行该协议，全局欺诈概率可以变得任意小。

一个零知识身份验证方案应该具备以下特性：
- 完整性 ：合法的证明者总是能够被接受。
- （计算）可靠性 ：非法的证明者将以一定的固定概率被拒绝。通常可以证明，总是成功的证明者可以被用来提取证明者的秘密（知识提取器）。
- 零知识 ：这比说验证者仅仅没有学到关于秘密的任何信息更强。我们要求任何验证者策略，即使在多次交互中，也无法从证明者那里提取任何信息。这提供了对主动攻击的可证明安全性。证明是通过将验证者作为预言机或黑盒进行模拟来完成的，因此这个定义被称为黑盒（计算）零知识。

2. MinRank问题

设 $M_0; M_1, \ldots, M_m$ 是环 $R$ 上的 $\eta \times n$ 矩阵。MinRank 问题（MinRank(η, n, m, r, R)）是找到一个解 $\alpha \in R^m$，使得：