29、简单矩阵加密方案：ABC 加密系统解析

简单矩阵加密方案：ABC 加密系统解析

1. 多元公钥密码系统背景

在有限域上求解多元多项式方程通常是一个 NP 难问题，量子计算机在处理这类问题时似乎也没有明显优势。然而，这并不意味着基于此的密码系统就是安全的。过去几十年里，许多多元公钥密码系统（MPKCs）被提出用于加密，但大多被证明是不安全的。例如，1988 年 Matsumoto 和 Imai 提出的 C* 或 MI 方案，几年后就被 Jacques Patarin 用线性化方程攻击破解。后续的 HFE、TTM 等方案也都存在安全漏洞，很多方案的共同缺陷是其中心映射相关的二次型秩较低，容易受到 MinRank 攻击。

2. MinRank 攻击

MinRank 攻击是一种密码分析工具，可用于恢复中心映射相关二次型秩较低的 MPKCs 的密钥。下面以 HFE 方案为例进行说明。

2.1 HFE 方案

HFE 密码系统由 Jacques Patarin 提出。设 (q = p^e)（(p) 为素数，(e \geq 1)），(K) 是有限域 (k = F_q) 的 (n) 次扩展域，(K \cong k^n)。(\varphi : K \to k^n) 是 (k) - 线性同构映射。HFE 的中心映射是一个一元多项式 (P(x))：
[P(x) = \sum_{i=0}^{r - 1} \sum_{j=0}^{r - 1} p_{ij}x^{q^i + q^j} \in K[x]]
其中 (p_{ij} \in K)，(r) 是一个小常数，使得 (P(x)) 可以有效求逆。公钥为 (\overline{F} = T \circ \varphi \circ P