31、基于二次型的多元签名方案解析

基于二次型的多元签名方案解析

1. 矩阵变换与解的获取

当 (r \geq 3) 时，非零向量 (w \in K^{r(r + 1)/2}) 可表示为 (r \times r) 对称矩阵：
[
\begin{pmatrix}
a & * & \cdots & * \
* & \cdots & * & \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
* & * & \cdots & c
\end{pmatrix}
]
对包含 (a)、(b) 和 (c) 的行与列组成的 (2 \times 2) 矩阵 (\begin{pmatrix}a & b \ b & c\end{pmatrix}) 应用二维情形下的操作。通过迭代这些操作，上述矩阵可转化为：
[
\begin{pmatrix}
a & 0 & \cdots & 0 \
0 & * & \cdots & * \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & * & \cdots & *
\end{pmatrix}
]
对 ((r - 1) \times (r - 1)) 子矩阵应用相同操作，经归纳可知该矩阵可对角化，对角矩阵能按二维情形类似方式转化为 (A_1)，从而得到 (f_1(X) = w) 的解 (X)，且解不唯一。 <