SCOI 2016 幸运数字 题解

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题目大意： 有一棵树，点带权，每次问如何从 $x$ 到 $y$ 路径上的点中选择一些点使得他们的权值的异或和最大，输出这个最大的异或和。

题解

从一些值中选择一些值，使得他们的异或和最大，显然就是线性基呀！

那要求一条路径的线性基，用 $lca$ 即可，开个结构体 $f$，$f[i][j].x$ 表示 $i$ 点往上跳 $2^j$个点所能到达的祖先，$f[i][j].d$ 表示 $i$ 点到 $f[i][j].x$ 的路径上的所有点的权值的线性基 （注意 $d$ 是数组）。

求的时候，将 $x$ 到 $lca(x,y)$ 的线性基与 $y$ 到 $lca(x,y)$ 的线性基暴力合并¹即可，求 $lca$ 的倍增数组时，线性基也是暴力合并。

如果还有不明白的，就看代码吧：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long

int n,m,len=0;
struct nod{
    int x;
    ll d[65];
    nod(){for(int i=0;i<=60;i++)d[i]=0;}
    void add(ll x)//插入
    {
        for(int i=60;i>=0;i--)
        {
            if(x&(1ll<<i))
            {
                if(d[i]==0)
                {
                    d[i]=x;
                    break;
                }
                else x^=d[i];
            }
        }
    }
    ll ans()//最大值求解
    {
        ll re=0;
        for(int i=60;i>=0;i--)
        if((re^d[i])>re)re^=d[i];
        return re;
    }
}f[20010][20];//倍增数组
struct node{int x,y,next;};
node e[40010];
ll a[20010];
int first[40010];
void buildroad(int x,int y)
{
    len++;
    e[len].x=x;
    e[len].y=y;
    e[len].next=first[x];
    first[x]=len;
}
int deep[20010];
void dfs_getfa(int x)//处理倍增数组初值
{
    for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
    {
        int y=e[i].y;
        if(y==f[x][0].x)continue;
        f[y][0].x=x;
        f[y][0].add(a[x]);//将x和y的权值加入到f[y][0]的线性基中
        f[y][0].add(a[y]);
        deep[y]=deep[x]+1;
        dfs_getfa(y);
    }
}
void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y;y=t;}
void work(int x,int y)
{
    nod ans;
    if(deep[x]!=deep[y])//基本上和普通的lca一样，只是在跳的时候要将路上所有点的线性基记录下来
    {
        if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);
        for(int j=14;j>=0;j--)
        {
            if(deep[f[y][j].x]>=deep[x])
            {
                for(int k=60;k>=0;k--)//沿途记录线性基
                if(f[y][j].d[k]!=0)ans.add(f[y][j].d[k]);
                y=f[y][j].x;
            }
        }
    }
    for(int j=14;j>=0;j--)
    if(f[x][j].x!=f[y][j].x)
    {
        for(int k=60;k>=0;k--)
        {
            if(f[x][j].d[k]!=0)ans.add(f[x][j].d[k]);
            if(f[y][j].d[k]!=0)ans.add(f[y][j].d[k]);
        }
        x=f[x][j].x;y=f[y][j].x;
    }
    if(x!=y)
    {
        for(int k=60;k>=0;k--)
        {
            if(f[x][0].d[k]!=0)ans.add(f[x][0].d[k]);
            if(f[y][0].d[k]!=0)ans.add(f[y][0].d[k]);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans.ans());
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d %d",&x,&y);
        buildroad(x,y);
        buildroad(y,x);
    }
    deep[1]=1;
    dfs_getfa(1);
    for(int j=1;j<=14;j++)
    for(int i=1;i<=n;i++)//求倍增数组
    {
        f[i][j].x=f[f[i][j-1].x][j-1].x;
        for(int k=0;k<=60;k++)//以下就是暴力合并，将f[i][j-1].d和f[f[i][j-1]][j-1].d合并起来成为f[i][j].d
        f[i][j].d[k]=f[i][j-1].d[k];
        for(int k=0;k<=60;k++)
        if(f[f[i][j-1].x][j-1].d[k]!=0)f[i][j].add(f[f[i][j-1].x][j-1].d[k]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d %d",&x,&y);
        if(x==y)printf("%lld\n",a[x]);//注意这个要特判一下，显然我们的lca处理不了这种情况
        else work(x,y);
    }
}

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1. 什么？你说不会暴力合并？直接将一个线性基中的元素暴力插入到另一个就可以了呀！ ↩︎