[BZOJ4173]数学

最新推荐文章于 2018-03-28 21:26:36 发布

a_crazy_czy

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分类专栏：欧拉函数取模运算 BZOJ 文章标签： OI 数论欧拉函数

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该博客介绍了在线判题BZOJ4173中的数论问题，讨论了满足m mod k + n mod k ≥ k的整数k的集合S(n,m)的性质，并给出了问题的解决思路和代码实现，适用于数论和OI领域的学习者。" 79956746,5582087,IDEA修改Maven Web工程的web版本,"['Java', 'Maven', 'Web开发', 'IDE配置']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

设 $S(n,m)$ 为满足 $m\ {mod}\ k+n\ {mod}\ k\geq k$ 的所有整数 $k$ 组成的集合。
例如 $S(7,9)=\{2,4,5,8,10,11,12,13,14,15,16\}$ 。
给定 $n$ , $m$ ，试求出

φ (n) φ (m) \sum k \in S (n, m) φ (k)

$\varphi(n)\varphi(m)\sum_{k\in S(n,m)}\varphi(k)$
答案对

998244353 $998244353$ 取模。

$1\leq n,m\leq 10^{15}$

题目分析

这题结论很简单但是推起来要一定技巧性。

[m m o d k + n m o d k \geq k] = [m - ⌊ m k ⌋ k + n - ⌊ n k ⌋ k \geq k] = [⌊ n + m k ⌋ - ⌊ m k ⌋ - ⌊ n k ⌋ \geq 1]

$\begin{align} \left[m\ {mod}\ k+n\ {mod}\ k\geq k\right] & =\left[m-{\left\lfloor\frac mk\right\rfloor} k+n-{\left\lfloor\frac nk\right\rfloor} k\geq k\right]\\ & =\left[{\left\lfloor\frac {n+m}k\right\rfloor}-{\left\lfloor\frac mk\right\rfloor}-{\left\lfloor\frac nk\right\rfloor}\geq 1\right] \end{align}$
注意到

0≤⌊n+mk⌋−⌊mk⌋−⌊nk⌋≤1 $0\leq {\left\lfloor\frac {n+m}k\right\rfloor}-{\left\lfloor\frac mk\right\rfloor}-{\left\lfloor\frac nk\right\rfloor}\leq 1$ 。
忽略前面乘的

φ(n)φ(m) $\varphi(n)\varphi(m)$ ，原式变为

\sum k = 1 n + m ⌊ n + m k ⌋ φ (k) - \sum k = 1 m ⌊ m k ⌋ φ (k) - \sum k = 1 n ⌊ n k ⌋ φ (k)

$\sum_{k=1}^{n+m}\left\lfloor\frac{n+m}k\right\rfloor\varphi(k)-\sum_{k=1}^m\left\lfloor\frac mk\right\rfloor\varphi(k)-\sum_{k=1}^n\left\lfloor\frac nk\right\rfloor\varphi(k)$
那么

∑nk=1⌊nk⌋φ(k) $\sum_{k=1}^n\left\lfloor\frac nk\right\rfloor\varphi(k)$ 是啥呢？和杜教筛那条式子挺像的：

\sum k = 1 n k = \sum k = 1 n \sum d | k φ (d) = \sum k = 1 n ⌊ n k ⌋ φ (k)

$\begin{align} \sum_{k=1}^nk&=\sum_{k=1}^n\sum_{d|k}\varphi(d)\\ &=\sum_{k=1}^n\left\lfloor\frac nk\right\rfloor\varphi(k) \end{align}$
也就是说后面那个东西其实就是

\sum k = 1 n + m k - \sum k = 1 n k - \sum k = 1 m k = n m

$\sum_{k=1}^{n+m}k-\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^mk=nm$
然后就是瞎求一下欧拉函数做完了。
时间复杂度

O(n√) $O(\sqrt n)$ 或者

O(n√lnn√) $O\left(\frac{\sqrt n}{\ln \sqrt n}\right)$ （相信没有人蛋疼到去打后面那个）。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int P=998244353;

LL n,m;

LL phi(LL x)
{
    LL ret=x,cur=x;
    for (int i=2;1ll*i*i<=x&&cur>1;++i)
        if (!(cur%i))
        {
            (ret/=i)*=(i-1);
            for (;!(cur%i);cur/=i);
        }
    if (cur>1) (ret/=cur)*=(cur-1);
    return ret;
}

int main()
{
    freopen("math.in","r",stdin),freopen("math.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m),printf("%d\n",1ll*(phi(n)%P)*(phi(m)%P)%P*(n%P)%P*(m%P)%P);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}