[JZOJ5199]Fiend

题目大意

给定$n$个限制，每个形如$L_i,R_i$。
你要生成$n$的排列$\{P_n\}$，满足$\forall i,L_i\le P_i\le R_i$。
请判断生成的排列中逆序对个数为奇数的排列多还是偶数的排列多。
一个测试点$T$组数据。

$1\le T\le500,1\le n\le10^5,1\le\sum n\le 1.5\times10^6,1\le L_i\le R_i\le n$

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题目分析

题目中既有排列又有逆序对个数奇偶性，这启发我们从矩阵行列式入手。
考虑构造一个$n$阶矩阵，对于第$i$行，我们令$L_i$至$R_i$列值为$1$，其余列值为$0$。那么我们求出这个矩阵的行列式，显然这个行列式的正负就能体现答案。
但是这题$n$很大，我们不能直接高斯消元。考虑利用矩阵的特殊性质来快速消元。
注意到题目中的矩阵每一行有值的都是一段区间（且值都是$1$），考虑在消元中有目的地选择行来使这个性质始终成立。
将限制挂在$L_i$上，并且记录它的$R_i$以及原本是哪一行($i$)。
然后我们从左到右消。假设我们考虑到位置$x$，我们从挂在$x$上面的所有限制中选择一个$R_i$值最小的，然后让它作为这一行的数。那么它就会和挂在这里的其它限制进行消元，因为选择的$R_i$是最小的，我们显然只需要把这些其它限制从$x$移动到$R_i+1$这个位置就好了。至于行列式在此次消元中是否变号，我们只需要看看选择的$i$原本是否就是第$x$行。
也就是说我们需要支持若干个集合的取最小值以及合并，使用左偏树就好了。
时间复杂度$O(n\log n)$。

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代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cassert>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <queue>

using namespace std;

const int N=100050;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

int idx[N],rel[N],root[N];
int T,n;

namespace leftist_tree
{
    int rank[N],key[N],cid[N];
    int son[N][2];
    queue<int> avl;

    void init()
    {
        for (;!avl.empty();avl.pop());
        for (int i=1;i<=n;++i) root[i]=0,avl.push(i);
    }

    int newnode(int val,int id)
    {
        int ret=avl.front();avl.pop();
        return key[ret]=val,cid[ret]=id,son[ret][0]=son[ret][1]=0,rank[ret]=1,ret;
    }

    void release(int x){avl.push(x);}

    int merge(int x,int y)
    {
        if (!x||!y) return x^y;
        if (key[x]>key[y]) swap(x,y);
        son[x][1]=merge(son[x][1],y);
        if (rank[son[x][0]]<rank[son[x][1]]) swap(son[x][0],son[x][1]);
        rank[x]=rank[son[x][1]]+1;
        return x;
    }

    void push(int &rt,int val,int id){rt=merge(newnode(val,id),rt);}

    void pop(int &rt,int &key_,int &id_){key_=key[rt],id_=cid[rt],release(rt),rt=merge(son[rt][0],son[rt][1]);}
};

int main()
{
    freopen("fiend.in","r",stdin),freopen("fiend.out","w",stdout);
    for (T=read();T--;putchar('\n'))
    {
        n=read(),leftist_tree::init();
        for (int i=1,l,r;i<=n;++i) idx[i]=rel[i]=i,l=read(),r=read(),leftist_tree::push(root[l],r,i);
        int ret=1;
        for (int i=1;ret&&i<=n;++i)
        {
            int key_,id_;
            for (;root[i]&&leftist_tree::key[root[i]]<i;leftist_tree::pop(root[i],key_,id_));
            if (!root[i]) ret=0;
            else
            {
                leftist_tree::pop(root[i],key_,id_);
                int tmp=idx[id_];
                if (tmp!=i) ret*=-1,swap(idx[id_],idx[rel[i]]),swap(rel[i],rel[tmp]);
                if (key_<n) root[key_+1]=leftist_tree::merge(root[i],root[key_+1]);
            }
        }
        /*for (int i=1;i<=n;++i) cerr<<idx[i]<<' ';
        cerr<<endl;
        for (int i=1;i<=n;++i) cerr<<rel[i]<<' ';
        cerr<<endl;
        for (int i=1;i<=n;++i) assert(rel[idx[i]]==i);*/
        if (ret>0) putchar('Y');
        else if (!ret) putchar('D');
        else putchar('F');
    }
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}