54、通信复杂度与多准则优化中的帕累托最优解下界研究

通信复杂度与多准则优化中的帕累托最优解下界研究

1. 策略问题与中位数问题的关联

在策略问题的研究中，若要证明一个与策略问题上界 $O(\frac{\log n}{\log \log n})$ 紧密匹配的下界，可能需要采用不同的方法。通过对 $r(n) = \frac{\log n}{\log \log n}$ 所得到的不等式进行细致分析，发现无论函数 $k(n)$ 如何取值，至少有一个不等式必然成立。

下面来探讨策略问题到中位数问题的归约。有如下命题：
- 命题 1 ：若规模为 $n$ 的中位数问题能在 $O(r(n))$ 轮内使用 $O(c(n))$ 通信量解决，那么规模为 $n$ 的策略问题也能在 $O(r(n))$ 轮内使用 $O(c(n))$ 通信量解决。

其证明过程是将策略问题 $(T, f)$ 归约到中位数问题 $(S, A, B)$，其中 $S$ 是自然数集，$A$ 和 $B$ 分别是由 Alice 和 Bob 持有的该集合的子集，此归约将基于策略问题中树 $T$ 的高度 $k$ 进行归纳。
- 高度为 1 的树 ：将高度为 1 的树的策略问题归约到 $S = {0, 1}$ 上的中位数问题很容易实现。根据根节点处 $f$ 的值，给 Bob 空子集，给 Alice 子集 ${0}$ 或 ${1}$，中位数的两个可能值将对应 $f$ 到达的两个可能叶子节点。
- 高度为 $k$ 的树的归纳步骤 ：设 $T_l$ 是以根节点左子节点为根的高度为 $k - 1$ 的树，$T_r$ 是以右子节点为根的树。记树 $T$ 的根为 $r