威尔逊定理：素数的充要条件

最新推荐文章于 2024-03-28 09:13:38 发布
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本文介绍了素数的一种判定方法：若p为素数，则(p-1)! ≡ p-1 (mod p)。此外，还展示了如何利用这一性质解决与阶乘相关的同余式问题，并给出了两个具体的应用实例。

定义

p为素数的充要条件为

(p−1)!≡−1≡p−1(modp)

也可以说
p|(p−1)!+1

证明

百度百科的证明特别简明易懂 => 点此跳转

应用

 可以将一些与阶乘有关的同余式和素数联系起来，以解决某些特定的问题

YAPTCHA HDU - 2973
Zball in Tina Town HDU - 5391

夜深人静写算法（三十七）- 威尔逊定理
英雄哪里出来
02-15 8191
貌似没什么用的定理？？？
威尔逊定理 数论
初学者
07-12 7957
最近在整理原来的一些资料，偶然想起原来搞OI时讲过一次威尔逊定理的内容，这里分享给大家 目录 一个实验 证明 剩余类与剩余系 缩系 证明 题目推荐 数论四大定理之一 ※是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明 ※威尔逊定理是判定一个自然数是否为素数的充分必要条件 一个实验 十八世纪中叶，一位英国法官约翰·威尔逊爵士，发现了数论中一种极为罕见的关系：取从1到某个质数...
关于质数的充分必要条件的猜测
12-29
关于质数的充分必要条件的猜测，李联林，，本文试图从新的角度研究质数的充分条件，给出两个新的三角和公式，明确了计算出S集（特征和）的方法，计算出了前所未知的S集列表�
Wilson定理（一个判断素数的简单方法）
青枫 Blog
03-16 2440
Wilson定理；对于一个任意整数n>1,当且仅当n是一个素数时，(n-1)！+1能够被n整除。 算法如下： function Wilson(n) {//当且仅当n>1且n是素数时，返回true if((n-1)!+1) mode n==0 then return true else return false } 
HDU 5391 Zball in Tina Town 威尔逊定理+快速素数判断法（218ms）
pxlsdz的博客
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Zball in Tina Town Time Limit: 3000/1500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others) Total Submission(s): 2766    Accepted Submission(s): 1295   Problem Description Tina Town is...
UVA138+HDU2973【筛素数】【威尔逊定理】
raptor
11-19 2025
这两天实在天冷了，比较适合宅起来敲俩代码，这俩个题目脑洞都比较大，之前没接触这个，先放上这俩，其余题目单发。Street Numbers ：有个程序员每天都遛狗，这很程序员，他家住的街道上是一条直线，一次往左依次往右，发现两次遛狗门牌号的和是一样的，问他家的门牌思路：假设门牌是1-n，他家的是m，anemia根据等差数里求和公式，得出直接暴力一发，tle，修改了输入处处还是超时，直接复制粘贴超时输...
威尔逊定理与逆定理及证明
mosquito_zm的博客
08-13 7236
威尔逊定理：当( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 时，p为素数。 证明如下 充分性： 当p不是素数，那么令p=a*b ，其中1     (1)若a≠b,         因为(p-1)!=1*2*...*a*...*b*...*p-1,         所以(p-1)!≡ 0 (mod a)                        (
数论四大定理之——威尔逊定理
这是一篇普通的博客。
04-02 1683
作为数论四大定理中的一员，威尔逊定理可谓是最简单的一个定理了。虽然它的用处也不想欧拉定理或中国剩余定理那么广泛，但是，我们也必须要了解威尔逊定理，因为没有了它，很多题目都会将你深深的折磨的。那我们现在就开始威尔逊定理的学习吧： 威尔逊定理 若正整数 ppp 为质数，那么： (p−1)!≡p−1(modp) (p - 1)! \equiv p - 1 \pmod p (p−1)!≡p−1(modp) 形式的确十分的简单，那么我们该如何证明它呢？ 首先，由于 ppp 是质数，那么 1∼p−11 \sim p
威尔逊定理证明
wsyear的博客
07-16 1643
求证威尔逊定理：当且仅当ppp为质数时，有(p−1)!≡−1(modp)(p-1)!\equiv -1\pmod p(p−1)!≡−1(modp)。 证： ① (p−1)!≡−1(modp)⇒p是质数(p-1)!\equiv -1\pmod p\Rightarrow p是质数(p−1)!≡−1(modp)⇒p是质数 反证：若ppp不是质数(p≥6)(p\ge 6)(p≥6) 必有p∣(p−1)!p|(p-1)!p∣(p−1)!。 1） p=4p=4p=4时，(p−1)!≡2(mod4)(p-1)!\equi
威尔逊定理证明：
砥安的博客
10-30 3377
威尔逊定理：当$( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) $时，p为素数。 证明如下 充分性： 当p不是素数，那么令p=a * b ，其中1 < a < p - 1 ,1 < b < p - 1. (1)若a ≠ b , 因为(p - 1) !=1 * 2 * … * a * … * b * … * p - 1 , 所以(p-1) ! ≡ 0 (mod a) (p...
hdu5319(求素数＋威尔逊定理)
潜水的程序猿
08-21 634
题意： 这题就是求 (n-1)!modn(n−1)!  mod  n 如果nn为合数，显然答案为0. 如果nn为素数，那么由威尔逊定理可得答案为 n-1n−1 注意有个trick为 nn = 4.
素数的求法
weixin_42530160的博客
01-30 2743
一、素数的定义： 素数即为质数，一个数要是素数（质数）的话，需要满足下列的条件 （1）大于 1 的正整数； （2）只能被 1 和自身整除； （3）最小的素数是 2 。 二、问题描述  输入一个值 n ，求出小于 n 值的所有素数 例子： 输入：20 输出：2  3  5  7  11  13  17  19  三、问题解决  思路1 试除法：将该数逐个和从 2 到...
素数的判断
weixin_44772147的博客
07-29 1289
素数定义：素数又称为质数，是指除了1和它本身外不能被其他数整除的一类数。 即对给定的正整数n，如果对于任意的正整数a（1<a<n）都有n%a ！= 0成立，则n为素数，反之为合数。 这种判定方法的复杂度为O（n）。 还有较为快速的判定方法，时间复杂度为O（sqrt（n）） 具体如下： 如果在2-n-1中存在约数，不妨设为k，即n%k==0，那么由k*（n/k）==n可知，n/k也是n的一个约数，且k与n/k中一定满足一个小于sqrt（n）、另一个大于sqrt（n）。 所以我们只需要判定n能否被2
C语言-素数的判断
Willow_Spring的博客
03-22 763
素数条件：因数个数只有两个，分别是1与本身（好家伙，为了求素数专门看了小学数学） 1–n之间，2个因数就是素数，>=2便是合数（n>1） #include <stdio.h> int main() { int n,s=0,i; scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++){ if(n%i==0) s++; } if(s==2) printf("素数"); else printf("合数
威尔逊定理
m0_37772713的博客
11-17 1073
概述：威尔逊定理是判断一个数p是否是素数的又一个充分必要条件，但由于这个定理计算起来并不方便，所以并不作为判别素数的一个方式，但是却有着它独道的用处。    定理内容：当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )。   简要证明（摘自百度）： 充分性 如果“p”不是素数，那么它的正因数必然包含在整数1, 2, 3, 4, … ,p− 1 中，因此
素数的判断方法
LiarLiu的博客
08-21 2244
素数即是质数，指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数； 判断方法如下： 方法一：暴力解法 也就是逐一除以比所求数小的数，如果恰好整除，即不是素数；否则即为素数；(是素数返回1） int is_prime(int n) { for(int i=2;i<n;i++) { if(n%i==0) return 0; } return 1; } 该法简单运行耗时短，时间复杂度为n；但当与其他算法相结合时就非常久了，比如说逐一判断1-100000里的素数，两者
素数筛+前缀和优化（包含威尔逊定理应用）
路转溪桥忽见
09-10 275
题目： 求 输入t组数据和m,n,输出 Fn%1000000007. 题解： 根据威尔逊定理，当p为素数，p|(p-1)!+1..由此可知，当2*i+3为素数时，该项值为1，否则为0. 素数筛枚举m到n会超时，所以要用到一个前缀和 代码： #include &lt;iostream&gt; #include &lt;stdio.h&gt; #include &lt;stdlib....
判断一个数是否是素数，或者判断一定范围内的素数有哪些
热门推荐
qq_36657788的博客
08-24 1万+
首先需要理解什么是素数（也就是我们常说的质数）：即一个只能被自身或1整除的数整除即为质数。（搞清楚： a 能被 b整除 ， a是被除数，b是除数） 为什么要建立一个开根号的数呢？ 判断一个数为素数，只要判断比它开根号的后的数小的数能否把它整除。 例如 15 ： 根号15乘根号19等于15.则当一个比根号15的数大的数乘另一个数得到15.另一个数必然小于根号15. 所以，如果(num %...
质数的判断条件
wangnvshibeib的博客
03-28 1285
质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。质数的研究在数学中占据着重要的地位，它不仅与数论、代数、几何等多个数学分支密切相关，而且在密码学、计算机科学等领域也有着广泛的应用。这一点是质数与合数的根本区别。通过对质数的深入研究和探索，我们可以更好地理解数学的本质和魅力，为人类的科技进步和社会发展做出更大的贡献。他通过反证法假设质数的个数是有限的，然后构造了一个新的质数，从而推翻了原假设。在数学中，自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数，通常用0，1，2，3，4……
CODEFORCES 威尔逊定理
最新发布
04-29
### 关于 Codeforces 平台上与威尔逊定理相关的编程问题及解决方案 #### 威尔逊定理简介 威尔逊定理是一个重要的数论结论，它表明：如果 $p$ 是一个质数，则 $(p-1)! \equiv -1 \ (\text{mod}\ p)$。换句话说，$(p-1)! + 1$ 可被 $p$ 整除[^5]。这一性质在许多涉及质数检测和大数运算的算法竞赛题目中有广泛的应用。 --- #### 经典题目解析与实现 以下是几道典型的 Codeforces 题目以及它们基于威尔逊定理的解决方法： --- ##### **题目一：Codeforces 1295D** 该题的核心在于判断给定区间内有多少个数满足某种特殊条件，而这些条件可以通过威尔逊定理简化为对阶乘取模的结果分析[^6]。 ###### 解决方案 为了高效地处理大规模数据，我们可以预先计算出所有可能需要用到的阶乘值及其对应的模意义下的结果。具体代码如下所示： ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD = 1e9 + 7; ll factorial_mod(ll n, ll p) { if (n >= p) return 0; ll result = 1; for (ll i = 1; i <= n; ++i) { result = (result * i) % p; } return result; } bool is_prime_wilson(ll p) { if (factorial_mod(p - 1, p) != p - 1) return false; return true; } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); ll l, r; cin >> l >> r; int count = 0; for (ll i = max(l, 2LL); i <= r; ++i) { if (is_prime_wilson(i)) { count++; } } cout << count << "\n"; } ``` 这段程序首先定义了一个用于计算阶乘并对指定素数取模的功能函数 `factorial_mod`，接着借助这个工具实现了依据威尔逊定理判定某个自然数是否为素数的逻辑[^6]。 --- ##### **题目二：Prime Number Theorem Application** 虽然这不是一道具体的 Codeforces 题目名称，但它代表了一类常见的挑战场景——即如何利用包括但不限于威尔逊在内的各种经典数学理论去优化复杂度较高的枚举过程[^7]。 ###### 实现细节 当面临需要频繁验证多个候选数字是否属于素数集合的任务时，单纯依靠试除法往往难以达到理想的时间效率标准。此时引入诸如埃拉托斯特尼筛法或者更高级别的线性筛技术固然是一种不错的选择；然而，在某些特定条件下（例如仅需关心少量极大数值的情况），直接调用威尔逊定理反而能带来意想不到的优势。 示例代码片段展示如下： ```python def wilsons_theorem_test(n): from math import factorial if n < 2: return False elif pow(factorial(n - 1), 1, n) == n - 1: return True else: return False # Example Usage print(wilsons_theorem_test(11)) # Output: True ``` 在这里我们采用了 Python 内置库中的高精度整数运算能力来模拟整个流程，尽管如此仍需注意实际比赛中应尽量避免因过度依赖此类特性而导致性能瓶颈的发生[^7]。 --- #### 总结 综上所述，通过对威尔逊定理深入理解并灵活运用到不同类型的算法设计当中，不仅可以帮助参赛者更好地应对那些表面上看似棘手但实际上蕴含深刻规律可循的问题，而且还有助于培养更加严谨缜密的思维习惯！ ---
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