6、量子力学中的一维束缚态与无限深方势阱

量子力学中的一维束缚态与无限深方势阱

1. 量子力学基础回顾

量子物理学与经典物理学的一个重要区别在于对物质的量子描述具有统计性质。对于大多数学生来说，波函数是一个全新的概念，它包含了所有可提取的信息。而使用概率、平均值和其他统计量来描述物理系统也是量子力学的独特之处。

1.1 波函数的性质

波函数是薛定谔方程的解，它是位置和时间的函数。虽然我们无法直接测量波函数，但它却非常重要。当取波函数绝对值的平方时，它能给出在时间间隔 (t) 到 (t + dt) 内，粒子出现在位置 (x) 到 (x + dx) 之间的概率。可以说，求解含时薛定谔方程（TDSE）的最终目的就是为了得到这些概率。

1.2 定态薛定谔方程的奇偶性

在某些情况下，当势能 (U(x)) 是偶函数，即 (U(x) = U(-x)) 时，定态薛定谔方程（TISE）的本征函数具有确定的宇称。具体推导如下：
已知 (\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + U(x)\right)\psi_{n}(-x) = E\psi_{n}(-x))，因为 (\psi_{n}(-x)) 和 (\psi_{n}(x)) 是同一个 TISE 的解且具有相同的本征值 (E_{n})，所以它们只相差一个常数，即 (\psi_{n}(-x) = \beta\psi_{n}(x))。再次改变 (x) 的符号可得 (\psi_{n}(x) = \beta\psi_{n}(-x) = \beta^{2}\psi_{n}(x))，由此可知 (\beta = \pm1)。这意味着当势能为偶函数时，TISE 的本征函数 (\psi_{n}(x