38、图论中的同构与平面性：概念、应用与判定

图论中的同构与平面性：概念、应用与判定

1. 图的同构

1.1 同构的定义与示例

图的同构是指两个图在本质上是相同的，尽管它们的顶点和边的名称可能不同。具体来说，如果存在从图 (G_1) 的顶点到图 (G_2) 的顶点的一一对应函数 (f)，以及从图 (G_1) 的边到图 (G_2) 的边的一一对应函数 (g)，使得在图 (G_1) 中边 (e) 与顶点 (v) 和 (w) 相关联，当且仅当在图 (G_2) 中边 (g(e)) 与顶点 (f(v)) 和 (f(w)) 相关联，则称图 (G_1) 和图 (G_2) 是同构的。

例如，给定如下指令：“绘制并标记五个顶点 (a)、(b)、(c)、(d) 和 (e)，连接 (a) 和 (b)，(b) 和 (c)，(c) 和 (d)，(d) 和 (e)，以及 (a) 和 (e)”。两个人绘制出的图可能外观不同，但它们是同构的。可以通过定义函数 (f(a) = A)，(f(b) = B)，(f(c) = C)，(f(d) = D)，(f(e) = E)，以及 (g(x_i) = y_i)（(i = 1, \ldots, 5)）来证明它们同构。

1.2 同构的应用

图同构在许多领域都有实际应用：
- 指纹识别 ：可以使用图来建模指纹，其中顶点表示局部几何图案，边表示图案之间的关系。通过将指纹图与指纹图数据库进行比对，可以潜在地识别指纹。
- 化学和生物学 ：将化学和生物结构表示为图，并将它们与此类表示的数据库进行比较，这在药物研究中特别有用。

1.3 同构与邻接矩阵