35、费马大定理证明相关探讨

费马大定理证明相关探讨

1. 有限性与Frey曲线

对于从椭圆曲线得到的表示 $\rho_{\ell}$，有如下命题：设 $E$ 是定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，$\Delta$ 是 $E$ 的最小判别式，$\ell$ 和 $p$ 是素数（允许 $p = \ell$），$\rho_{\ell}$ 是 $G$ 在 $E[\ell]$ 上的表示，那么 $\rho_{\ell}$ 在 $p$ 处有限当且仅当 $v_p(\Delta) \equiv 0 \pmod{\ell}$，其中 $v_p$ 表示 $p$-adic赋值。

考虑Frey曲线，其最小判别式为 $\Delta = 2^{-8}(abc)^{2\ell}$。所以对于所有 $p \neq 2$，有 $v_p(\Delta) \equiv 0 \pmod{\ell}$，即 $\rho_{\ell}$ 在所有奇素数处有限，且 $\rho_{\ell}$ 在 2 处不有限。

2. Ribet定理证明概述

Ribet证明的关键定理如下：设 $\ell \geq 3$，$\rho: G \to GL_2(\mathbb{F}_{\ell})$ 是不可约表示。假设 $\rho$ 是平方自由水平 $N$ 的模形式，且存在素数 $q \mid N$，$q \neq \ell$，使得 $\rho$ 在 $q$ 处不有限，若 $p \mid N$ 是 $\rho$ 在 $p$ 处有限的素数，则 $\rho$ 是水平 $N/p$ 的模形式。

由此可得两个重要推论：
- 推论1 ：Frey曲线 $E_{Frey}$ 不是模形式。因为当 $\e