SM2椭圆曲线公钥密码算法

一、实验目的

SM2加密与解密算法与实现

（1）按照有效的椭圆曲线参数生成椭圆曲线

（2）掌握 SM2加密与解密算法原理

（3）将字符串明文转换为比特串格式之间转换，能够将有意义的消息 转换为比特串进行加密，并将解密的结果还原为字符串

硬件：运行 Windows 操作系统的计算机

软件：Python

二、方案设计

背景

        SM2算法是中国国家密码管理局（CNCA）发布的一种基于椭圆曲线的非对称加密算法。它采用椭圆曲线密码体系（Elliptic Curve Cryptography，ECC）进行密钥交换、数字签名和公钥加密等功能。SM2算法包括SM2-1椭圆曲线数字签名算法、SM2-2椭圆曲线密钥交换协议和SM2-3椭圆曲线公钥加密算法，分别用于实现数字签名、密钥协商和数据加密等功能。

        SM2算法于2010年12月17日首次公开发布，并在2012年成为中国商用密码标准（标准号为GM T 0003—2012），2016年成为中国国家密码标准。该算法的安全性基于椭圆曲线离散对数难题，具有较小的密钥长度、更快的运算速度和更高的安全性，相对于RSA算法具有显著优势。

原理

1.椭圆曲线

        椭圆曲线不是椭圆，之所以叫椭圆曲线，是因为其表达式和计算椭圆周长的积分表达式有相似之处，这就是椭圆曲线名称的由来。椭圆周长的积分表达式为:

其中，E(x)是x的三次或四次多项式。

Weierstrass型椭圆曲线是在椭圆曲线密码体制中的一种最常用的曲线:

j称为不变量，当俩条椭圆曲线相同时，则它们同构。

通过变量置换：

得到常用仿射坐标方程简化形式： 

判别式为： 

2.椭圆曲线离散对数问题(ECDLP) 

        给定定义在有限域Fp上的椭圆曲线E，及E上的一个n阶点G，和另一点Q，如果存在k，0<k<n-1，使Q=kG，则称k是Q的以G为基的离散对数。

        由k和G，求Q容易。

        由G和Q，求k困难。

ECC就是建立在求解相应加法群中ECDLP困难基础上的。

3.SM2算法

SM2-算法-密钥生成算法

（1）选择随机整数   。

（2）以G为基点，计算点  。

（3）密钥是，其中d是私钥，P是公钥。

SM2-算法-加密算法

设需要发送的明文为比特串M，klen为M的比特长度。用户A获得用户B的公钥后：

                （1）选择随机数  。

                （2）计算椭圆曲线点，并将的数据类型转换为比特串。

                （3）计算椭圆曲线点（ℎ为余因子，为椭圆曲线

                          的阶，n 是基点G的阶），若S是无穷远点，则报错并退出。

                （4）否则计算椭圆曲线点，并将坐标的数据类型转换为比特

                        串。

                （5）计算，若t为全0比特串，则回退至步骤（1）。

                （6）否则计算、 。

                （7）输出密文。

SM2-算法-解密算法

用户B用自身的私钥对密文解密，设klen为密文中的比特长度：

                （1）从C中取出比特串C_1，将C_1的数据类型转换为椭圆曲线上的点，验证是否满足

                        椭圆曲线方程，若不满足，则报错并退出。

                （2）否则计算椭圆曲线点S=[ℎ]C_1，若S是无穷远点，则报错并退出。

                （3）否则计算[d_B]C_1=(x_2,y_2)，并将坐标x_2、y_2的数据类型转换成比特串。

                （4）计算t=KDF(x_2||y_2, klen) ，若t为全0比特串，则报错并退出。

                （5）否则从C中取出比特串C_2，计算M^′=C_2⊕t 。

                （6）计算u=Hash(x_2||M^′ ||y_2)，从C中取出比特串C_3，若u≠C_3，则报错并退出。

                （7）否则输出明文M^′=C_2⊕t。

 三、方案实现

1.SM2加密算法

1.1 流程图