23、椭圆曲线的周期计算与除法多项式

椭圆曲线的周期计算与除法多项式

1. 椭圆曲线周期的计算

对于定义在复数域 $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线 $E$，由定理可知它通过双周期函数 $\wp$ 和 $\wp’$ 对应一个格 $L = \mathbb{Z}\omega_1 + \mathbb{Z}\omega_2$。为简化计算，考虑曲线 $E$ 定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上且 $E[2] \subset E(\mathbb{R})$ 的情况，此时 $E$ 的方程可表示为 $y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3 = 4(x - e_1)(x - e_2)(x - e_3)$，其中 $e_1 < e_2 < e_3$。
- $\omega_2$ 的计算
- 从积分 $\int_{e_3}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{4(x - e_1)(x - e_2)(x - e_3)}}$ 出发，令 $x = \wp(z)$，经过变量代换和积分限调整可得 $\omega_2 = \int_{e_3}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{(x - e_1)(x - e_2)(x - e_3)}}$。
- 再通过变量替换 $x = \frac{(e_3 - \sqrt{(e_3 - e_1)(e_3 - e_2)})t + (e_3 + \sqrt{(e_3 - e_1)(e_3 - e_2)})}{t + 1}$ 及代数运算，将积分转化为 $\omega_2 = \frac{2}{\sqrt{e_3 - e_1} + \sqrt{e_3 - e_2}} \int_{-1}^{1} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^2)