40、椭圆曲线离散对数问题与椭圆可除序列的等价难题

椭圆曲线离散对数问题与椭圆可除序列的等价难题

1. 椭圆可除序列的基本概念与性质

1.1 椭圆可除序列的定义与表示

在椭圆曲线相关研究中，引入了椭圆可除序列。当取特定值时，如在特定定理中令 ( t = s = n )，( T = lId_n )，可以得到：
[
W_{E,P}(lv) = W_{E,lP}(v) \prod_{i = 1}^{n} W_{E,P}(le_i)v_i^2 - v_i(\sum_{j \neq i} v_j) \prod_{1 \leq i < j \leq n} W_{E,P}(le_i + le_j)v_iv_j
]
其中 ( W_{E,P}(le_i) = W_{E,P_i}(l) )，( W_{E,P}(le_i + le_j) = W_{E,P_i + P_j}(l) )。进一步可得：
[
W_{E,lP}(v) = \frac{W_{E,v \cdot P}(l)W_{E,P}(v)l^2}{\prod_{i = 1}^{n} W_{E,P_i}(l)v_i^2 - v_i(\sum_{j \neq i} v_j) \prod_{1 \leq i < j \leq n} W_{E,P_i + P_j}(l)v_iv_j}
]
当点 ( P ) 的阶为素数时，引入方便的记号 ( W_{E,P}(n) = \varphi([n]P) )，称其为与椭圆曲线 ( E ) 和点 ( P ) 相关的完全周期椭圆可除序列。这种序列具有吸引人的性质，即 ( W_{E,P}(n) ) 可以作为曲线上点 ( [n]P ) 的函数进行计算，而无需知道 ( n ) 的具体值。